幾何学的に必要な転位

幾何学的に必要な転位は、結晶質材料の塑性曲げに対応するために必要な、同じ符号の転位です。^[1]これらは、材料の塑性変形が内部塑性ひずみ勾配を伴う場合に存在します。^[2]これらは、フランク・リード源のような増殖プロセスから塑性流動中に発生する、等しい正負の符号の統計を持つ統計的に蓄積された転位とは対照的です。

ひずみが進むにつれて、転位密度が増加し、塑性流動中の転位可動性は低下します。転位が蓄積する方法はいくつかあります。転位の多くは、転位が偶然に出会うことで増殖して蓄積されます。このような過程で蓄積された転位は統計的に蓄積された転位と呼ばれ、対応する密度を持ちます。^[2]言い換えれば、それらは塑性変形中のランダムなトラッピングプロセスから発生した転位です。^[3]${\displaystyle \rho _{s}}$

統計的に蓄積された転位に加えて、結晶格子の幾何学的制約によって生じるひずみ勾配場には、幾何学的に必要な転位が蓄積されます。この場合、塑性変形には内部の塑性ひずみ勾配が伴います。幾何学的に必要な転位の理論は、1953 年に Nye ^[4]によって初めて導入されました。統計的に蓄積された転位に加えて幾何学的に必要な転位が存在するため、総密度は 2 つの密度の蓄積、つまり となります。ここでは幾何学的に必要な転位の密度です。 ${\displaystyle \rho _{s}+\rho _{g}}$${\displaystyle \rho _{g}}$

単結晶の塑性曲げは、幾何学的に必要な転位の概念を説明するために使用できます。この転位では、滑り面と結晶方位が曲げ方向と平行になります。完全な（変形していない）結晶の長さと厚さは です。結晶棒を曲率半径 まで曲げると、結晶棒の上部に引張ひずみが発生し、上面の長さが から に増加するひずみ勾配が形成されます。ここで は正であり、その大きさは と仮定します。同様に、反対側の内面の長さは、曲げによって生じる圧縮ひずみにより から に減少します 。したがって、ひずみ勾配は、結晶の外側表面と内側表面の間のひずみの差を、勾配が存在する距離で割ったものです。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l+dl}$${\displaystyle dl}$${\displaystyle t\theta /2}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l-dl}$

${\displaystyle strain\ gradient=2{\frac {dl/l}{t}}=2{\frac {t\theta /2l}{t}}={\frac {\theta }{l}}}$。 以来、。 ${\displaystyle l=r\theta }$${\displaystyle strain\ gradient={\frac {1}{r}}}$

表面の長さを原子間隔で割ったものが、この表面の結晶面の数です。原子間隔は、バーガースベクトルの大きさに等しいです 。したがって、外側（引張）表面と内側（圧縮）表面の結晶面の数は、それぞれとです。したがって、同じ符号の刃状転位が表面間の原子面の数の差を補うという、幾何学的に必要な転位の概念が導入されています。幾何学的に必要な転位の密度は、この差を結晶表面積で割ったものです 。${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle (l+dl)/b}$${\displaystyle (l-dl)/b}$${\displaystyle \rho _{g}}$

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {(l+dl)/b-(l-dl)/b}{lt}}=2{\frac {dl}{ltb}}={\frac {1}{rb}}={\frac {strain\ gradient}{b}}}$。

より正確には、幾何学的に必要な転位の密度を計算する際には、曲げに対する滑り面の向きと方向を考慮する必要があります。滑り面の法線が曲げ軸に平行で、滑り方向がこの軸に垂直な特殊なケースでは、曲げプロセス中に幾何学的に必要な転位ではなく通常の転位すべりが発生します。したがって、幾何学的に必要な転位の密度の式には、1 の定数が含まれます。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \rho _{g}=\alpha {\frac {strain\ gradient}{b}}}$。

多結晶材料の隣接する粒子間では、幾何学的に必要な転位が各結晶のひずみ勾配を吸収することで変位の互換性を提供することができます。経験的に、多結晶材料の結晶子の間には空隙や重なり合うセグメントがないため、このような転位領域が存在すると推測できます。このようなシステムでは、平均粒子を考慮することで幾何学的に必要な転位の密度を推定できます。2 つの隣接する粒子間の重なりは に比例します。ここで は平均ひずみ、は粒子の直径です。変位はにゲージ長を掛けたものに比例します。ゲージ長は多結晶の場合 とみなされます。これをバーガース ベクトルbで割ると転位の数が得られ、面積 ( ) で割ると密度が得られます 。${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}d}$${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle dl}$${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \cong d^{2}}$

${\displaystyle \rho _{g}\cong {\frac {\overline {\varepsilon }}{bd}}}$

さらに幾何学的な考察を加えると、

${\displaystyle \rho _{g}={\frac {\overline {\varepsilon }}{4bd}}}$^[2 ]

ナイは幾何学的に必要な転位密度を計算するためにテンソルのセット（いわゆるナイのテンソル）を導入した。^[4]

結晶内の3次元転位について、転位の影響が平均化される領域（つまり結晶が十分に大きい領域）を考慮する。転位はバーガースベクトルによって決定できる。単位ベクトルに垂直な単位面積のバーガース回路がバーガースベクトルを持つ場合${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

${\displaystyle B_{i}=\alpha _{ij}l_{j}}$（） ${\displaystyle i,j=1,2,3}$

ここで、係数は単位ベクトルとバーガースベクトルを関連付けるナイのテンソルです。この2階のテンソルは、特定の領域の転位状態を決定します。 ${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle l_{j}}$ ${\displaystyle B_{i}}$

と仮定します。ここで、は転位に平行な単位ベクトル、はバーガース ベクトル、n は に垂直な単位面積を横切る転位の数です。したがって、 です。合計はのすべての異なる値の合計です。格子の曲率を表す第 2 階のテンソル と仮定します。ここで、は 3 つの軸の周りの小さな格子回転、 は変位ベクトルです。 、 に対してであることが証明できます。 ${\displaystyle B_{i}=b_{i}(nr_{j}l_{j})}$${\displaystyle r}$${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha _{ij}=nb_{i}r_{j}}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle nb_{i}r_{j}}$${\displaystyle k_{ij}}$${\displaystyle d\phi _{i}=k_{ij}dx_{j}}$${\displaystyle d\phi _{i}}$${\displaystyle dx_{j}}$${\displaystyle k_{ij}=\alpha _{ji}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ij}\alpha _{kk}}$${\displaystyle \delta _{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \delta _{ij}=0}$${\displaystyle i\neq j}$

平衡方程式は となります。 なので、 となります。 をに代入すると、となります。 の方程式のゼロ解がゼロであり、 と が対称であるため、の27 通りの可能な順列のうち、9 つの独立した方程式のみが残ります。 ナイのテンソルは、これらの 9 つの微分方程式によって決定できます。 ${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ij}}{\partial x_{j}}}=0}$${\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial \phi {i}}{\partial x_{j}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial k_{ij}}{\partial x_{k}}}={\partial ^{2} \over \partial x_{j}\partial x_{k}}\phi _{i}={\frac {\partial k_{ik}}{\partial x_{j}}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ji}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial \alpha _{ki}}{\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}(\delta _{ij}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{k}}}-\delta _{ik}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{j}}})}$${\displaystyle j=k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i,j,k}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$

したがって、転位ポテンシャルは と表すことができます。ここで です。 ${\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\alpha _{ij}k_{ij}}$${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial k_{ij}}}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha _{kl}}{\partial k_{ij}}}k_{kl}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}k_{ji}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}k_{kk}=\alpha _{ij}}$

一軸引張試験は、主にバルク試験片の応力-ひずみ関係および関連する機械的特性を得るために行われてきました。しかし、幾何学的に必要な転位には、不均一な塑性変形に関連する欠陥が余分に蓄積されており、通常のマクロ試験、例えば一軸引張試験だけでは、そのような欠陥の影響、例えば塑性ひずみ勾配を捉えるのに十分ではありません。さらに、幾何学的に必要な転位はミクロンスケールであり、ミリメートルスケールで行われる通常の曲げ試験ではこれらの転位を検出できません。^[5]

1997年にアダムスら^[6]が電子後方散乱回折により格子歪みを空間的および角度的に分解して測定する方法を発明して初めて、幾何学的に必要な転位の実験的測定が可能になりました。たとえば、2000年にサンら^[7]は、回折ベースの配向イメージング顕微鏡を使用して、変形したアルミニウム双結晶の界面付近の格子曲率のパターンを研究しました。このようにして、曲率データを使用して幾何学的に必要な転位の観察が実現しました。

しかし、実験上の制限により、一般的な変形状態における幾何学的に必要な転位の密度は、2010年にKysarら^{[8]によって下限値法が導入されるまで測定が困難でした。彼らは、単一のニッケル結晶への90度の挟角でのくさび押し込みを研究しました（後にDahlbergら[9]}によって60度と120度の挟角も利用可能になりました）。変形後の構成における結晶格子の方向を変形前の均質サンプルと比較することで、彼らは面内格子回転を決定することができ、それが面外格子回転よりも1桁大きいことを発見し、平面ひずみ仮定を実証しました。

ナイ転位密度テンソル^[4]は、2次元変形状態のため、ゼロでない成分が2つだけあり、格子回転測定から導くことができます。2つのナイテンソル成分と幾何学的に必要な転位の密度との間の線形関係は通常不十分に決定されるため、幾何学的に必要な転位の総密度はこの関係に従って最小化されます。この下限解は、測定された格子形状と一致する変形結晶内の最小の幾何学的に必要な転位密度を表します。また、1つまたは2つの有効な滑り系のみがアクティブであることがわかっている領域では、下限解は幾何学的に必要な転位密度の正確な解に縮小されます。

統計的に蓄積された転位の密度に加えて、適応した多結晶による転位密度の増加は、ひずみ硬化中に粒径効果をもたらします。つまり、より細かい粒径の多結晶はより急速に加工硬化する傾向があります。^[2]${\displaystyle \rho _{g}}$${\displaystyle \rho _{s}}$

幾何学的に必要な転位は強化をもたらすが、2つのメカニズムがそれぞれ異なるケースで存在する。最初のメカニズムは、局所的な転位相互作用を介して巨視的な等方性硬化をもたらす。例えば、既存の幾何学的に必要な転位が移動する転位によって切断されたときに生じるジョグ形成などである。2番目のメカニズムは、長距離の逆応力の蓄積による運動学的硬化である。^[10]

幾何学的に必要な転位は、互いに積み重なることで自由エネルギーを下げ（転位-転位応力のピーチ・ケーラーの式を参照）、低角傾斜境界を形成する。この動きには転位が異なるすべり面まで登る必要がある場合が多いため、高温での焼鈍が必要になることが多い。その結果、低角傾斜境界で連続的に曲がっているアークからキンクのある離散的に曲がったアークに変化する。^[1]