幾何学的有限性

幾何学では、双曲空間の等長変換群は、それが行儀の良い基本領域を持つ場合、幾何学的に有限であると 呼ばれます。双曲多様体は、幾何学的に有限な群で記述できる場合、幾何学的に有限であると呼ばれます。

双曲空間内の凸多面体C は、双曲空間の共形コンパクト化における その閉包C が次の性質を持つ場合、幾何学的に有限であると呼ばれます。

• C内の各点xに対して、 xの近傍Uが存在し、 Uと交わるCのすべての面もxを通過します(Ratcliffe 1994、12.4)。

たとえば、面の数が有限な多面体はすべて幾何学的に有限です。次元が 2 以下の双曲空間では、幾何学的に有限な多面体はすべて辺の数が有限ですが、次元が 3 以上になると辺の数が無限になる幾何学的に有限な多面体が存在します。たとえば、次元がn ≥ 2のユークリッド空間R ⁿには、辺の数が無限の多面体Pがあります。R n ^+1のn +1 次元双曲空間の上半平面モデルはR ⁿに投影され、この投影によるPの逆像は、辺の数が無限の幾何学^的に有限な多面体です。

幾何学的に有限な多面体には有限の数の尖端しかなく、有限個を除くすべての辺が尖端の 1 つと接します。

双曲空間の等長変換の離散群Gは、凸かつ幾何学的に有限で正確な基本領域C を持つとき、幾何学的に有限であると呼ばれます (すべての面は、あるg  ∈  Gに対してCとgCの交差です) (Ratcliffe 1994、12.4)。

最大 3 次元の双曲空間では、幾何学的に有限な群のすべての正確な凸基本多面体は有限個の辺しか持たないが、4 次元以上では無限個の辺を持つ例がある (Ratcliffe 1994、定理 12.4.6)。

最大 2 次元の双曲空間では、有限生成離散群は幾何学的に有限ですが、Greenberg (1966) は、3 次元の有限生成離散群が幾何学的に有限ではない例があることを示しました。

双曲多様体は、双曲空間を幾何学的に有限な離散等長変換群で割った商である有限個の成分を持つ場合、幾何学的に有限であると呼ばれます (Ratcliffe 1994、12.7)。

• クライン群の密度定理

• グリーンバーグ、L. (1966)、「クライン群の基本多面体」、数学年報、第 2 シリーズ、84 : 433–441、doi :10.2307/1970456、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970456、MR  0200446
• ラトクリフ、ジョン・G. (1994)、双曲多様体の基礎、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94348-0