正規ウィッシュハート分布

ノーマル-ウィシャート

表記	${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W } ,\nu )}$
パラメータ	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}_{0}\in \mathbb {R} ^{D}\,}$ 位置(実数のベクトル) (実数)スケール行列 (正定義) (実数) ${\displaystyle \lambda >0\,}$ ${\displaystyle \mathbf {W} \in \mathbb {R} ^{D\times D}}$ ${\displaystyle \nu >D-1\,}$
サポート	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}\in \mathbb {R} ^{D};{\boldsymbol {\Lambda}}\in \mathbb {R} ^{D\times D}}$ 共分散行列（正定義）
PDF	${\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={ \mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\ぬ）}$

確率論と統計学において、正規ウィシャート分布（またはガウスウィシャート分布）は、多変量4パラメータ連続確率分布族の一種である。これは、平均と精度行列（共分散行列の逆行列）が不明な多変量正規分布の共役事前分布である。^[1]

仮定する

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Lambda }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol { \mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})}$

は平均と共分散行列を持つ多変量正規分布に従う。ここで ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$ ${\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu \sim {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}$

はウィシャート分布に従う。そして は 正規ウィシャート分布に従う。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W } ,\nu ).}$

${\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={ \mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\ぬ）}$

構築により、上の周辺分布はウィシャート分布であり、上の条件付き分布は多変量正規分布です。上の周辺分布は多変量t分布です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$

観測を行った後、パラメータの事後分布は ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{n},\lambda _{n}, \mathbf {W} _{n},\nu _{n}),}$

どこ

${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda +n,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{n}={\frac {\lambda {\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\bar {x}}}}{\ラムダ +n}},}$

${\displaystyle \nu _{n}=\nu +n,}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{n}^{-1}=\mathbf {W} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})^{T}+{\frac {n\lambda }{n+\lambda }}({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}.}$^[2]

ランダム変数の生成は簡単です:

1. パラメータとウィシャート分布からのサンプル${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \nu}$
2. 平均と分散を持つ多変量正規分布からのサンプル${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$${\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}$

• 正規逆ウィシャート分布は、本質的には、精度ではなく分散によってパラメータ化された同じ分布です。
• 正規ガンマ分布は1 次元の同等物です。
• 多変量正規分布とウィシャート分布は、この分布を構成する成分分布です。

• ビショップ、クリストファー M. (2006)。パターン認識と機械学習。Springer Science+Business Media。