GW近似

GW近似（GWA）は、電子の多体系の自己エネルギーを計算するために行われた近似である。 ^{[1] [2]} [ ^3]この近似は、自己エネルギーΣを単一粒子グリーン関数Gと遮蔽されたクーロン相互作用W（単位は） で展開したものである。 ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle \Sigma =iGW-GWGWG+\cdots }$

最初の項の後で切り捨てることができます:

${\displaystyle \Sigma \approx iGW}$

言い換えれば、自己エネルギーは遮蔽された相互作用Wのべき乗の形式的なテイラー級数で展開され、最低次の項は GWA での展開で保持されます。

上記の式は概略的なものであり、近似の全体的な考え方を示しています。より正確には、電子座標に位置、スピン、時間というラベルを付け、これら3つを複合インデックス（数字1、2など）にまとめると、次のようになります。

${\displaystyle \Sigma (1,2)=iG(1,2)W(1^{+},2)-\int d3\int d4\,G(1,3)G(3,4)G(4,2)W(1,4)W(3,2)+...}$

ここで、上付き文字「+」は、時間インデックスが微小量だけ前方にシフトされることを意味します。GWAは

${\displaystyle \Sigma (1,2)\approx iG(1,2)W(1^{+},2)}$

これを文脈に当てはめると、W を裸のクーロン相互作用 (つまり、通常の 1/r 相互作用) に置き換えると、ほとんどの多体教科書に記載されている自己エネルギーの標準的な摂動級数が生成されます。W を裸のクーロンに置き換えた GWA は、ハートリー・フォック交換ポテンシャル (自己エネルギー)以外の何も生成しません。したがって、大まかに言えば、GWA は動的に遮蔽されたハートリー・フォック自己エネルギーの一種を表します。

固体システムでは、 Wに関する自己エネルギーの級数は、従来の裸のクーロン相互作用の級数よりもはるかに速く収束するはずです。これは、媒体の遮蔽によってクーロン相互作用の有効強度が減少するためです。たとえば、電子を物質内のある位置に置き、物質内の別の位置での電位を尋ねると、その値は裸のクーロン相互作用 (点間の距離の逆数) によって与えられる値よりも小さくなります。これは、媒体内の他の電子が電界を遮蔽するように分極 (電子状態を移動または歪める) するためです。したがって、W は裸のクーロン相互作用よりも小さい量であるため、 Wの級数はより速く収束する可能性が高くなります。

より急速な収束を見るために、電子密度、または同等の平均電子間距離、つまりウィグナー・ザイツ半径によって特徴付けられる均質または均一な電子ガスを含む最も単純な例を考えてみましょう。(ここではスケーリングの議論のみを提示し、オーダー 1 の数値前因子は計算しません。) 重要な手順は次のとおりです。 ${\displaystyle r_{s}}$

• 電子の運動エネルギーは次のように比例する。${\displaystyle 1/r_{s}^{2}}$
• 裸の（遮蔽されていない）クーロン相互作用による平均的な電子間反発は、（典型的な分離の逆数に等しい）${\displaystyle 1/r_{s}}$
• 最も単純なトーマス・フェルミ遮蔽モデルにおける波動ベクトルの電子ガス誘電関数は、${\displaystyle q}$

${\displaystyle \epsilon (q)=1+\lambda ^{2}/q^{2}}$

ここで遮蔽波数は次のようにスケールする。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle r_{s}^{-1/2}}$

• 典型的な波動ベクトルは次のようにスケールする（これも典型的な逆分離である）${\displaystyle q}$${\displaystyle 1/r_{s}}$
• したがって、典型的なスクリーニング値は${\displaystyle \epsilon \sim 1+r_{s}}$
• 遮蔽されたクーロン相互作用は${\displaystyle W(q)=V(q)/\epsilon (q)}$

したがって、裸のクーロン相互作用の場合、クーロンエネルギーと運動エネルギーの比は、典型的な金属では 2 ～ 5 のオーダーであり、決して小さくはありません。言い換えると、裸のクーロン相互作用はかなり強く、摂動展開が不十分になります。一方、典型的な運動エネルギーに対する比は遮蔽によって大幅に減少し、適切に動作し、大きな の場合でも 1 より小さいオーダーです。遮蔽された相互作用ははるかに弱く、急速に収束する摂動級数を与える可能性が高くなります。 ${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle r_{s}/(1+r_{s})}$${\displaystyle r_{s}}$

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• 重力波近似の応用に関する主要な出版物 2019-02-04にWayback Machineでアーカイブ
• GWの発明者ラース・ヘディンの写真
• GW100 -分子に対するGWアプローチのベンチマーク。

• 固体中の電子相関、ノーマン・H・マーチ（編）、ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング・カンパニー
• Aryasetiawan, Ferdi. 「第一原理からの固体の相関効果」(PDF)。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=(ヘルプ)が必要です