トポス理論の基本定理

数学において、トポス理論の基本定理は、トポスのいずれかのオブジェクト上のスライスは 、それ自体がトポスであることを述べています。さらに、に射がある場合、指数とサブオブジェクト分類子を保存する関数が存在します。 ${\displaystyle \mathbf {E} /X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle f^{*}:\mathbf {E} /B\rightarrow \mathbf {E} /A}$

における任意の射fには、定理の証明の鍵となる関連する「引き戻し関数」があります。 fと同じ余領域を共有する における他の任意の射gについては、それらの積は引き戻し平方の対角線であり、 の領域からfの領域に向かう射は引き戻し平方でgと反対であるため、それはfに沿ったgの引き戻しであり、 と表記できます。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle f^{*}:=-\mapsto f\times -\rightarrow f}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle f\times g}$${\displaystyle f\times g}$${\displaystyle f^{*}g}$

トポスは自身の終端オブジェクト上のスライスと同型であることに注意してください。つまり、内の任意のオブジェクトAに対して射が存在し、それによってプルバック関数が存在し、これが任意のスライスもトポスである理由です。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {E} \cong \mathbf {E} /1}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle f:A\rightarrow 1}$${\displaystyle f^{*}:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {E} /A}$${\displaystyle \mathbf {E} /A}$

与えられたスライスに対して、がそのオブジェクトを表すものとします。ここで、 X は基本カテゴリのオブジェクトです。すると、は を写像する関手になります。これをに適用します。これは次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {E} /B}$${\displaystyle X \over B}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle -\mapsto {B\times - \over B}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle B^{*}}$

${\displaystyle f^{*}B^{*}:-\mapsto {B\times - \over B}\mapsto {{A \over B}\times {B\times - \over B} \over {A \over B}}\cong {{\Big (}{A\times _{B}\,B\times - \over B}{\Big )} \over {A \over B}}\cong {A\times _{B}B\times - \over A}\cong {A\times - \over A}=A^{*}}$

これが、プルバック関数が のオブジェクトを にマップする方法です。さらに、基本トポスの任意の要素C はと同型であるため、 の場合、となり、 は実際に基本トポスからそのスライス への関数であることに注意してください。 ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle \mathbf {E} /B}$${\displaystyle \mathbf {E} /A}$${\displaystyle {1\times C \over 1}=1^{*}C}$${\displaystyle f:A\rightarrow 1}$${\displaystyle f^{*}:1^{*}\rightarrow A^{*}}$${\displaystyle f^{*}:C\mapsto A^{*}C}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {E} /A}$

基底式とのペアを考えます。これらの拡張と(ここで下線はヌルコンテキストを表します) は基本トポスのオブジェクトです。すると は、から へのモニックが存在する場合にのみ成り立ちます。これらが当てはまる場合、定理により、スライス の終端オブジェクトはその拡張 を介して因数分解されるため、式はスライス で真となります。論理的に言えば、これは次のように表現できます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle [\_|\phi ]}$${\displaystyle [\_|\psi ]}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle [\_|\phi ]}$${\displaystyle [\_|\psi ]}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \mathbf {E} /[\_|\phi ]}$${\displaystyle [\_|\phi ] \over [\_|\phi ]}$${\displaystyle [\_|\psi ]}$

${\displaystyle \vdash \phi \rightarrow \psi \over \phi \vdash \psi }$

したがって、の延長によるスライスは、 を仮説として 仮定することに対応します。すると、定理は、論理的な仮定を行ってもトポス論理のルールは変わらないと言うことになります。${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$

• 圏論と関連数学のタイムライン
• 演繹定理

• マクラティ、コリン (1992)。「§17.3 基本定理」。基本カテゴリ、基本トポス。オックスフォード論理ガイド。第 21 巻。オックスフォード大学出版局。p. 158。ISBN 978-0-19-158949-2。