ふるい理論の基本補題

数論において、ふるい理論の基本補題は、ふるい法を特定の問題に適用するプロセスを体系化するいくつかの結果のいずれかである。Halberstam & Richert ^{[1] : 92–93は}次のよう に書いている。

ふるいに関する文献の興味深い特徴は、ブルンの方法が頻繁に使用されている一方で、一般的なブルンの定理(定理 2.1 など)を定式化する試みがわずかしかないことです。その結果、ブルンの議論の手順をかなり詳細に繰り返す論文が驚くほど多くあります。

ダイアモンドとハルバースタム^{[2] :42は}「基本補題」 という用語をヨナス・クビリウスに帰属させている。

以下の表記を使用します:

• ${\displaystyle A}$は正の整数の集合であり、その整数のサブセットは${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{d}}$${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle w(d)}$およびは および の関数であり、 の要素のうち で割り切れる要素の数を次の式に従って推定する。${\displaystyle R_{d}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}X+R_{d}.}$

したがって、 はで割り切れるメンバーのおおよその密度を表し、 は誤差または剰余項を表します。${\displaystyle w(d)/d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle R_{d}}$

• ${\displaystyle P}$は素数の集合であり、それらの素数の積である。${\displaystyle P(z)}$${\displaystyle \leq z}$
• ${\displaystyle S(A,P,z)}$のどの素数でも割り切れない要素の数である。${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq z}$
• ${\displaystyle \kappa}$はふるい分け密度と呼ばれる定数であり、^{[3] : 28 で}、以下の仮定に現れます。これは、各素数によってふるい分けられた剰余クラスの数の加重平均です。

この定式化はTenenbaumによるものです。^{[4] ：60}他の定式化はHalberstam＆Richert、^{[1] ：82、} Greaves、^{[3] ：92} 、Friedlander＆Iwaniec ^{[5] ：732–733}にあります。 私たちは次のような仮定を立てています。

• ${\displaystyle w(d)}$は乗法関数です。
• ふるい分け密度は、ある定数と任意の実数、およびに対して、次を満たします。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi }$

${\displaystyle \prod _{\eta \leq p\leq \xi }\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)^{-1}}\left({\frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa }\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).}$

我々が利用できるパラメータがある。 、、において一様に存在 し、${\displaystyle u\geq 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\sum _{d\leq z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right).}$

アプリケーションでは、最良の誤差項を取得するために選択します。ふるいでは、これは包含排除原理のレベル数に関係します。 ${\displaystyle u}$

この定式化はハルバースタムとリヒャルトによるものです。^{[1] : 208–209}別の定式化はダイアモンドとハルバースタムによるものです。^{[2] : 29}

私たちは次のように仮定します:

• ${\displaystyle w(d)}$は乗法関数です。
• ふるい分け密度は、ある定数と任意の実数、およびに対して、次を満たします。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi }$

${\displaystyle \qquad \sum _{\eta \leq p\leq \xi }{\frac {w(p)\ln p}{p}'',\kappa \ln {\frac {\xi }{\eta }}+C.}$

• ${\displaystyle {\frac {w(p)}{p}}<1-c}$いくつかの小さな固定とすべて。${\displaystyle c}$${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |R(d)|\leq w(d)}$素因数が に含まれるすべての squarefree に対して。${\displaystyle d}$${\displaystyle P}$

基本的な補題は、組み合わせふるいの場合とほぼ同じ形式です。 と書きます。結論は次のようになります。 ${\displaystyle u=\ln {X}/\ln {z}}$

${\displaystyle S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,\ p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(e^{-u/2})\}}.}$

はもはや独立したパラメータではなく、 の選択によって制御されることに注意してください。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle z}$

ここでの誤差項は、組合せふるいの基本補題の場合よりも弱いことに注意してください。 Halberstam と Richert は次のように述べています: ^{[1] : 221}「したがって、文献で時々主張されているように、Selberg のふるいが常に Brun のふるいよりも優れていると言うのは正しくありません。」