微分に関するフビニの定理

数学において、グイド・フビニにちなんで名付けられたフビニの微分定理は、単調関数の級数の微分に関する実解析の結果である。これはファトゥの補題と空集合の性質を用いて証明できる。^[1]

が区間であり、任意の自然数kに対してが増加関数であると仮定します。 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{k}:I\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle s(x):=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$

すべてに対して存在するならば、ほとんどすべてのに対して導関数が存在し、次のように関係している：^[1]${\displaystyle x\in I,}$ ${\displaystyle x\in I,}$

${\displaystyle s'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}'(x).}$

一般に、 f _{k が}すべてのkに対して増加していると仮定しない場合、同じ結論を得るためには、すべての n に対して I が一様収束するなどのより厳しい条件が必要になり ます。 [ 2 ^]${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f_{k}'(x)}$