フレデリックスの変遷

平面アンカリングを誘起する2枚の平行板の間に閉じ込められたネマティック液晶を、十分に高い一定電場に置くと、ディレクターは歪みます。電場がゼロの状態でディレクターがx軸に沿って整列する場合、y軸に沿って電場を印加すると、ディレクターは次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =n_{x}\mathbf {\hat {x}} +n_{y}\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle n_{x}=\cos {\theta (z)}}$

${\displaystyle n_{y}=\sin {\theta (z)}}$

この配置では、歪みのないエネルギー密度は次のようになります。

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}}$

歪みと電場に蓄積される単位体積あたりの総エネルギーは、次式で与えられる。

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }}$

単位面積当たりの自由エネルギーは次のようになる。

${\displaystyle F_{A}=\int _{0}^{d}{\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }\,dz\,}$

変分法を用いてこれを最小化すると、次のようになる。

$\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)-{\frac {d}{dz}}\left({\frac {\partial U}{\partial \left({\frac {d\theta }{dz}}\right)}}\right)=0}$

${\displaystyle K_{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}\right)+\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin {\theta }\cos {\theta }=0}$

これを次のように書き直すと${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{d}}}$そして${\displaystyle \xi _{d}=d^{-1}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}}}}$どこ${\displaystyle d}$2枚のプレート間の距離が離れると、式は次のように簡略化されます。

$\displaystyle \xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+\sin {\theta }\cos {\theta }=0}$

微分方程式の両辺に${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}}$この方程式は、以下のようにさらに簡略化できます。

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}\xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+{\frac {d\theta }{d\zeta }}\sin {\theta }\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)\,d\zeta \,=0}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {1}{\xi _{d}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\theta _{m}}-\sin ^{2}{\theta }}}}$

価値${\displaystyle \theta _{m}}$の値は${\displaystyle \theta }$いつ${\displaystyle \zeta =1/2}$置換${\displaystyle k=\sin {\theta _{m}}}$そして${\displaystyle t={\frac {\sin {\theta }}{\sin {\theta _{m}}}}}$上記の式に代入し、に関して積分すると${\displaystyle t}$0から1への変化は次のようになります。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\,dt\,\equiv K(k)={\frac {1}{2\xi _{d}}}}$

値 K(k) は第一種完全楕円積分である。${\displaystyle K(0)={\frac {\pi }{2}}}$最終的に閾値電界が得られる${\displaystyle E_{t}}$。

${\displaystyle E_{t}={\frac {\pi }{d}}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}}}}}$

その結果、電気感受率の異方性とプレート間隔が分かっていれば、閾値電界を測定することで、ねじれフランク定数を効果的に測定することができる。