歪みのないエネルギー密度

歪み自由エネルギー密度は、液晶の均一に整列した構成からの歪みによって生じる自由エネルギー密度の増加を表す量です。また、フレデリック・チャールズ・フランクにちなんでフランク自由エネルギー密度とも呼ばれます。

ネマティック液晶の歪み自由エネルギー密度は、均一に整列したネマティックディレクター構成からの配向秩序の偏差による単位体積あたりのヘルムホルツ自由エネルギーの増加の尺度です。したがって、ネマティックの総自由エネルギー密度は次のように表されます。

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\mathcal {F}}_{d},}$

ここで、は液晶の全自由エネルギー密度、は均一に整列したネマチック液晶に関連する自由エネルギー密度、は、この秩序の歪みによる自由エネルギー密度への寄与です。非キラルネマチック液晶の場合、は一般に、次に示す 3 つの項で構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{1}(\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{ \frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2} 。}$

単位ベクトルは分子の正規化されたディレクターで、歪みの性質を記述します。3 つの定数はフランク定数と呼ばれ、記述する特定の液晶に依存します。これらは通常、dynのオーダーです。^[1] 3 つの項はそれぞれ、ネマティックの歪みのタイプを表します。最初の項は純粋なスプレイ、2 番目の項は純粋なツイスト、3 番目の項は純粋なベンドを表します。これらの項の組み合わせを使用して、液晶の任意の変形を表すことができます。3 つのフランク定数がすべて同じ大きさのオーダーであることが多いため、一般的に と近似されます。^[2]この近似は一般に 1 定数近似と呼ばれ、主に、このはるかに計算がコンパクトな形式の場合に自由エネルギーが単純化されるため使用されます。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle (|\mathbf {\hat {n}} |=1)}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle 10^{-6}}$ ${\displaystyle K_{1}=K_{2}=K_{3}=K}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K\left[(\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}+| \nabla \times \mathbf {\hat {n}} |^{2}\right]={\frac {1}{2}}K|\nabla \mathbf {\hat {n}} |^{2}.}$

フランク自由エネルギー密度には、表面相互作用を表すサドル スプレイ エネルギーと呼ばれる 4 番目の項も一般的に追加されます。液晶のバルクのエネルギーは表面によるエネルギーよりも大きいことが多いため、ディレクター フィールド構成を計算するときにこの項は無視されることがよくあります。この項は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}K_{4}\nabla \cdot \left[(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla )\mathbf {\hat {n}} -\ mathbf {\mathbf {\hat {n}} } (\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )\right].}$

液晶に含有物が追加されると、その存在により自由エネルギー密度に新たな項が加わり、これはラピニ近似と呼ばれる項で特徴付けられることが多い。

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}=-\oint {\frac {1}{2}}W(\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {\nu } } )^{2}\mathrm {d} S.}$

アンカーエネルギーは次のように与えられ、単位ベクトルは粒子表面に垂直である。^[3]${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbf {\hat {\nu }} }$

液晶がキラル分子で構成されている場合、歪み自由エネルギー密度に項が追加されます。この項は軸が反転すると符号が変わり、次のように表されます。

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Ch}=k_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} ).}$

前因子は分子のキラリティーの度合いに依存する。^[4]したがって、キラル液晶の場合、全自由エネルギー密度は次のように表される。 ${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\frac {1}{2}}K_{1}(\nabla \cdot \mathbf {\ hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} +q_{0})^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2}.}$

この量はコレステリックらせんの ピッチを表します。${\displaystyle q_{0}=2\pi /P_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$

液晶メソゲンの異方性反磁性と電気分極率の結果として、電場と磁場は液晶の配列を誘導することができます。電場を印加することで、液晶の自由エネルギーを効果的に低下させることができます。^[5]

磁場が歪み自由エネルギー密度に及ぼす影響を理解するために、 および が に垂直および平行な磁化率である局所ネマチック秩序の小さな領域がしばしば考慮されます。値、ここで N は単位体積あたりのメソゲンの数です。磁場によって行われる単位体積あたりの仕事は次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \chi_{\perp}}$${\displaystyle \chi _{\Parallel }}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$${\displaystyle \Delta \chi \equiv \chi _{\Parallel }-\chi _{\perp }=N<P_{2}(\cos {\theta })>}$

${\displaystyle W_{magnetic}=\int _{0}^{H}(-M_{\perp }\sin {\theta }-M_{\parallel }\cos {\theta })\,dH=-{\frac {H^{2}}{2}}(\chi _{\perp }+\Delta \chi \cos {\theta }^{2}),}$

どこ：

${\displaystyle M_{\parallel}=H\chi _{\parallel}\cos {\theta}}$

${\displaystyle M_{\perp}=H\chi _{\perp}\sin {\theta}.}$

この項は空間的に不変なので無視することができ、歪み自由エネルギー密度への磁気寄与は次のようになります。 ${\displaystyle -{\frac {H^{2}\chi _{\perp }}{2}}}$

${\displaystyle -{\frac {\Delta \chi }{2}}[\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {n}} ]^{2}.}$

同様の議論から、歪み自由エネルギーへの電場の寄与は次のように求められます。

${\displaystyle -{\frac {\Delta \epsilon }{8\pi }}[\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {n}} ]^{2}.}$

この量は、に垂直な方向と平行な方向の局所誘電率の差です。 ${\displaystyle \Delta \epsilon \equiv \epsilon _{\parallel }-\epsilon _{\perp }}$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

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