フロストマンの補題

フロストマンの補題は、数学、特にフラクタル次元の理論において、集合のハウスドルフ次元を推定するための便利なツールを提供する。^{[ 1 ]}

補題：A をR ⁿのボレル部分集合とし、s > 0 とする。このとき、以下は同値である。  

• H ^s ( A )  >  0、ここでH ^{s は}s次元ハウスドルフ測度を表す。
• R ⁿ上には、μ ( A ) > 0 を満たす(符号なし)ボレル測度μが存在し、  

${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}}$

これは、すべてのx ∈ R ⁿおよびr > 0に対して成り立つ。  

オットー・フロストマンは、 1935年にルンド大学での博士論文の一部として、閉集合Aに対するこの補題を証明した。ボレル集合への一般化はより複雑で、ススリン集合の理論が必要となる。^{[ 2 ]}

フロストマンの補題の有用な系では、ボレル集合A ⊂ R ⁿのs容量の概念が必要であり、それは次のように定義される。  

${\displaystyle C_{s}(A):=\sup {\Bigl \{}{\Bigl (}\int _{A\times A}{\frac {d\mu (x)\,d\mu (y)}{|xy|^{s}}}{\Bigr )}^{-1}:\mu {\text{ はボレル測度であり、}}\mu (A)=1{\Bigr \}}.}$

（ここでは、inf ∅ = ∞および1 ⁄ ∞ = 0 とします。以前と同様に、測度は     ${\displaystyle \mu }$（符号なし。）フロストマンの補題から、ボレルA ⊂ R ^{nに対して次のことが導かれる。}  

${\displaystyle \mathrm {dim} _{H}(A)=\sup\{s\geq 0:C_{s}(A)>0\}.}$

• フロストマン尺度の説明

• Mattila, Pertti (1995)、ユークリッド空間における集合と測度の幾何学、ケンブリッジ高等数学研究、第 44巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-65595-8MR 1333890​