ノイズに関するフリスの公式

Friis の公式またはFriis の公式( Friis の公式と呼ばれることもある) は、デンマーク系アメリカ人の電気技師Harald T. Friisにちなんで名付けられ、通信工学で多段増幅器の信号対雑音比を計算するために使用される 2 つの公式のうちの 1 つです。1 つは雑音係数に関連し、もう 1 つは雑音温度に関連しています。

フリスの公式は、各段に独自のノイズ係数と電力利得があるカスケード段の総ノイズ係数を計算するために使用されます（各段のインピーダンスが一致していると仮定）。総ノイズ係数を使用して、総ノイズ指数を計算できます。総ノイズ係数は次のように与えられます 。

ここで、 と はそれぞれi番目のステージのノイズ係数と利用可能な電力ゲインであり、nはステージ数です。 両方の大きさはデシベルではなく比率で表されます。 ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle G_{i}}$

この式の重要な結論は、無線受信機の全体的な雑音指数は主に最初の増幅段の雑音指数によって決まるということです。後続の段は信号対雑音比に減少効果をもたらします。このため、受信機の最初の段の増幅器は低雑音増幅器(LNA) と呼ばれることがよくあります。受信機全体の雑音「係数」は、

${\displaystyle F_{\mathrm {receiver} }=F_{\mathrm {LNA} }+{\frac {F_{\mathrm {rest} }-1}{G_{\mathrm {LNA} }}}}$

ここで、 は後続ステージの全体的なノイズ係数です。 式によると、ゲインが十分に高い場合、全体的なノイズ係数 は LNA のノイズ係数 によって支配されます。 dB で表される結果のノイズ指数は次のとおりです。 ${\displaystyle F_{\mathrm {rest} }}$${\displaystyle F_{\mathrm {receiver} }}$${\displaystyle F_{\mathrm {LNA} }}$

${\displaystyle \mathrm {NF} _{\mathrm {receiver} }=10\log(F_{\mathrm {receiver} })}$

3 つのカスケード接続された増幅器 ( ) の場合の Friis の公式の導出については、下の図を参照してください。 ${\displaystyle n=3}$

ソースは、電力 の信号と電力 のノイズを出力します。したがって、受信機チェーンの入力における SNR は です。電力 の信号は、3 つの増幅器すべてによって増幅されます。したがって、3 番目の増幅器の出力における信号電力は です。増幅器チェーンの出力におけるノイズ電力は、次の 4 つの部分で構成されます。 ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle {\text{SNR}}_{i}=S_{i}/N_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{o}=S_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}}$

• 音源の増幅されたノイズ（）${\displaystyle N_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}}$
• 第1増幅器の出力換算ノイズを第2増幅器および第3増幅器で増幅したもの（）${\displaystyle N_{a1}}$${\displaystyle N_{a1}\cdot G_{2}G_{3}}$
• 2番目の増幅器の出力換算ノイズを3番目の増幅器で増幅したもの（）${\displaystyle N_{a2}}$${\displaystyle N_{a2}\cdot G_{3}}$
• 3番目の増幅器の出力換算ノイズ${\displaystyle N_{a3}}$

したがって、アンプチェーンの出力における総ノイズ電力は、

${\displaystyle N_{o}=N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}$

アンプチェーンの出力におけるSNRは

${\displaystyle {\text{SNR}}_{o}={\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}}$。

総ノイズ係数は、入力 SNR と出力 SNR の商として計算できます。

${\displaystyle F_{\text{total}}={\frac {{\text{SNR}}_{i}}{{\text{SNR}}_{o}}}={\frac {\frac {S_{i}}{N_{i}}}{\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}}=1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}+{\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}}+{\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}}}$

アンプのノイズ係数の定義を使用すると、最終結果が得られます。

${\displaystyle F_{\text{total}}=\underbrace {1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}} _{=F_{1}}+\underbrace {\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}} _{={\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}}+\underbrace {\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}} _{={\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}$。

増幅器のカスケード接続の一般的な導出: ${\displaystyle n}$

総雑音指数は、カスケード入力における信号対雑音比とカスケード出力における信号対雑音比の関係として次のように表される。 ${\displaystyle \mathrm {SNR_{i}} ={\frac {S_{\mathrm {i} }}{N_{\mathrm {i} }}}}$${\displaystyle \mathrm {SNR_{o}} ={\frac {S_{\mathrm {o} }}{N_{\mathrm {o} }}}}$

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }={\frac {\mathrm {SNR_{i}} }{\mathrm {SNR_{o}} }}={\frac {S_{\mathrm {i} }}{S_{\mathrm {o} }}}{\frac {N_{\mathrm {o} }}{N_{\mathrm {i} }}}}$。

カスケード内の - 番目の増幅器の合計入力電力(ノイズと信号) は です。これは、増幅器の電力利得 に従って増幅されます。さらに、増幅器は電力 でノイズを追加します。したがって、 - 番目の増幅器の出力電力は です。カスケード全体では、合計出力電力は次のようになります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle S_{k-1}+N_{k-1}}$${\displaystyle G_{k}}$${\displaystyle N_{\mathrm {a} ,k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{k}\left(S_{k-1}+N_{k-1}\right)+N_{\mathrm {a} ,k}}$

${\displaystyle S_{\mathrm {o} }+N_{\mathrm {o} }=\left(\left(\left(\left(S_{\mathrm {i} }+N_{\mathrm {i} }\right)G_{1}+N_{\mathrm {a} ,1}\right)G_{2}+N_{\mathrm {a} ,2}\right)G_{3}+N_{\mathrm {a} ,3}\right)G_{4}+\dots }$

出力信号電力は次のように書き換えられる。

${\displaystyle S_{\mathrm {o} }=S_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}$

一方、出力ノイズ電力は次のように表される。

${\displaystyle N_{\mathrm {o} }=N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}$

これらの結果を総雑音指数に代入すると、

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }={\frac {N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{n}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}}$

${\displaystyle =1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,1}}{N_{\mathrm {i} }G_{1}}}+\sum _{k=2}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}}$

さて、個々の - 番目の増幅器の雑音指数としてを用いると、次の式が得られます。 ${\displaystyle F_{k}=1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }G_{k}}}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }=F_{1}+\sum _{k=2}^{n}{\frac {F_{k}-1}{\prod _{l=1}^{k-1}G_{l}}}}$

${\displaystyle =F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\dots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}\dots G_{n-1}}}}$

フリスの公式は、ノイズ温度に関して同様に表現できます。

• JD Kraus, Radio Astronomy、McGraw-Hill、1966年。

• RFカフェ[1]カスケードノイズ指数。
• マイクロ波百科事典 [2] 2013-05-17にWayback Machineでアーカイブされたカスケード分析。
• IEEEにおけるフリスの経歴 [3]