フィラーの定理

統計学では、フィラーの定理により、 2 つの平均値の比の信頼区間を計算できます。

変数aとbは異なる単位で測定される可能性があるため、標準誤差を直接結合する方法はありません。これらも異なる単位である可能性があります。これに関する最も完全な議論は、Fieller（1954）によって行われています。^[1]

フィラーは、aとbが（相関している可能性のある）2つのサンプルの平均で、期待値 と、分散と、共分散であり、がすべて既知である場合、に対する（1 −  α）信頼区間（m _L、  m _U）は次のように与えられることを示した 。${\displaystyle \mu_{a}}$${\displaystyle \mu_{b}}$${\displaystyle \nu _{11}\sigma ^{2}}$${\displaystyle \nu _{22}\sigma ^{2}}$${\displaystyle \nu _{12}\sigma ^{2}}$${\displaystyle \nu _{11},\nu _{12},\nu _{22}}$${\displaystyle \mu _{a}/\mu _{b}}$

${\displaystyle (m_{L},m_{U})={\frac {1}{(1-g)}}\left[{\frac {a}{b}}-{\frac {g\nu _{12}}{\nu _{22}}}\mp {\frac {t_{r,\alpha }s}{b}}{\sqrt {\nu _{11}-2{\frac {a}{b}}\nu _{12}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\nu _{22}-g\left(\nu _{11}-{\frac {\nu _{12}^{2}}{\nu _{22}}}\right)}}\right]}$

どこ

${\displaystyle g={\frac {t_{r,\alpha }^{2}s^{2}\nu _{22}}{b^{2}}}.}$

ここでは、 r の自由度に基づくの不偏推定値であり、 はrの自由度に基づくスチューデントの t 分布からの レベル偏差です。 ${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle t_{r,\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

この文脈では、この式の 3 つの特徴が重要です。

a) 平方根内の式は正の数でなければなりません。そうでない場合、結果の区間は虚数になります。

b) gが 1 に非常に近い場合、信頼区間は無限大になります。

c) gが 1 より大きい 場合、角括弧の外側の全体の除数は負になり、信頼区間は排他的になります。

1つの問題は、 gが小さくない場合、フィラーの定理を使用すると信頼区間が爆発する可能性があることです。アンディ・グリーブは、信頼区間が広いとはいえ妥当なベイジアンソリューションを提供しました。 ^[2] ブートストラップは、正規性の仮定を必要としない別の代替手段を提供します。^[3]

エドガー・C・フィラー（1907年 - 1960年）は、ケンブリッジ大学キングス・カレッジで数学を専攻し卒業後、ロンドン大学ユニバーシティ・カレッジのカール・ピアソンのグループに5年間在籍していたときに、この問題に取り組み始めました。その後、ブーツ・ピュア・ドラッグ・カンパニーで統計学者およびオペレーションズ・リサーチャーとして働き、第二次世界大戦中にはイギリス空軍戦闘機司令部でオペレーションズ・リサーチの副部長となり、その後、国立物理学研究所の統計部門の初代部長に任命されました。^[4]

• ガウス比分布

• Pigeot, Iris ; Schäfer, Juliane; Röhmel, Joachim; Hauschke, Dieter (2003). 「プラセボを含む 3 群臨床試験における新しい治療法の非劣性の評価」。Statistics in Medicine . 22 (6): 883–899. doi :10.1002/sim.1450. PMID  12627407. S2CID  21180003.
• Fieller, EC (1932). 「二変量正規分布における指数の分布」Biometrika . 24 (3–4): 428–440. doi :10.1093/biomet/24.3-4.428.
• フィラー、EC. (1940)「インスリンの生物学的標準化」。王立統計学会誌（補遺） 1:1–54。JSTOR  2983630
• フィラー、EC (1944)。「生物学的アッセイの統計における基本式といくつかの応用」。薬学および薬理学季刊誌。17 : 117–123。
• モトゥルスキー、ハーヴェイ（1995）直感的生物統計学。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-508607-4 
• Senn, Steven (2007)医薬品開発における統計的問題。第 2版。Wiley。ISBN 0-471-97488-9 
• Hirschberg, J.; Lye, J. (2010). 「デルタ信頼区間とフィラー信頼区間の幾何学的比較」.アメリカ統計学者. 64 (3): 234–241. doi :10.1198/tast.2010.08130. S2CID  122922413.