ファトゥの定理

数学、特に複素解析において、ピエール・ファトゥにちなんで名付けられたファトゥの定理は、単位円上の 正則関数と円の境界への点ごとの拡張に関する定理である。

開いた単位円板 上に定義された正則関数がある場合、どのような条件下でこの関数を単位円板の境界まで拡張できるかを尋ねるのは合理的です。これを行うには、円板内の 0 を中心とし、それぞれ半径 を持つ各円上で関数がどのように見えるかを確認します。これにより、新しい関数が定義されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {D} =\{z:|z|<1\}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{r}:S^{1}\to \mathbb {C} \\f_{r}(e^{i\theta })=f(re^{i\theta })\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle S^{1}:=\{e^{i\theta }:\theta \in [0,2\pi ]\}=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\},}$

は単位円です。すると、 の円への拡張の値はこれらの関数の極限になるはずなので、問題は がいつ収束するか、 としてどのような意味で収束するか、そしてこの極限はどの程度明確に定義されているかを決定することに帰着します。特に、これらのノルムが適切に動作する場合、答えは次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{r}}$${\displaystyle r\to 1}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle f_{r}}$

定理。を正則関数とし 、${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\|f_{r}\|_{L^{p}(S^{1})}}}$

ここで、は上記のように定義されます。すると、ほぼすべての点で、ノルム内で、ある関数に収束します。つまり、 ${\displaystyle f_{r}}$${\displaystyle f_{r}}$${\displaystyle f_{1}\in L^{p}(S^{1})}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{r}(e^{i\theta })-f_{1}(e^{i\theta })\right|&\to 0&&{\text{ほぼすべての}}\theta \in [0,2\pi ]\\\|f_{r}-f_{1}\|_{L^{p}(S^{1})}&\to 0\end{aligned}}}$

ここで、この点ごとの極限は放射状の極限であることに注目してください。つまり、この極限は円板の中心から円の境界までの直線に沿っており、したがって上記の文は次のように言っています。

${\displaystyle f(re^{i\theta })\to f_{1}(e^{i\theta })\qquad {\text{ほぼすべての}}\thetaに対して。}$

当然の疑問は、この境界関数が定義されている場合、他の方法で極限をとることによって、この関数に点ごとに収束するかどうかということです。つまり、境界まで直線をたどるのではなく、境界上のある点に収束する任意の曲線をたどるとします。 はに収束しますか? (上記の定理は の特殊なケースにすぎないことに注意してください)。曲線は に非接線である必要があることがわかります。つまり、曲線は境界上のターゲットに、円の境界に接するような方法で近づきません。言い換えると、 の範囲は、極限点から放射されるくさび形に含まれている必要があります。次のようにまとめます。 ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$${\displaystyle e^{i\theta}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}(e^{i\theta })}$${\displaystyle \gamma (t)=te^{i\theta }}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$

定義。が となる連続パスであるとします。定義します。 ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }\in S^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\alpha }&=\{z:\arg z\in [\pi -\alpha ,\pi +\alpha ]\}\\\Gamma _{\alpha }(\theta )&=\mathbb {D} \cap e^{i\theta }(\Gamma _{\alpha }+1)\end{整列}}}$

つまり、 は、軸がと 0 の間を通過する角度 の円板内のくさびです。およびに含まれるような が存在する場合、は に非接線収束する、または は非接線極限であると言います。 ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$${\displaystyle 2\alpha}$${\displaystyle e^{i\theta}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle e^{i\theta}}$${\displaystyle 0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }}$

ファトゥの定理。すると、ほぼすべての${\displaystyle f\in H^{p}(\mathbb {D} ).}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

${\displaystyle \lim _{t\to 1}f(\gamma (t))=f_{1}(e^{i\theta })}$

に収束するすべての非接線極限に対して、は上記のように定義されます。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle e^{i\theta },}$${\displaystyle f_{1}}$

• 証明では、円のハーディ・リトルウッド最大関数を使用して、ポアソン核の対称性を利用します。
• 類似の定理は上半平面上のハーディ空間に対して頻繁に定義され、ほぼ同じ方法で証明されます。

• 丈夫なスペース

• ジョン・B・ガーネット『有界解析関数』（2006年）シュプリンガー・フェアラーク、ニューヨーク
• Krantz, Steven G. (2007). 「正則関数の境界挙動: 全体的および局所的結果」. Asian Journal of Mathematics . 11 (2): 179–200. arXiv : math/0608650 . doi : 10.4310/AJM.2007.v11.n2.a2 . S2CID  56367819.
• ウォルター・ルーディン『実解析と複素解析』（1987年）、第3版、マグロウヒル社、ニューヨーク。
• エリアス・スタイン、「特異積分と関数の微分可能性特性」（1970年）、プリンストン大学出版局、プリンストン。