幾何学におけるオイラーの定理

幾何学では、オイラーの定理は、三角形の外心と内心の間の距離dは次のように与えられると述べています^{[ 1 ] [ 2 ]}$$d^2=R(R-2r)$$ または同等に $${\displaystyle {\frac {1}{Rd}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},}$$ どこ${\displaystyle R}$そして${\displaystyle r}$それぞれ外接円と内接円の半径を表す。この定理は 、1765 年に発表したレオンハルト・オイラーにちなんで名付けられている。 ^{[ 3 ]}しかし、同じ結果は、1746 年にウィリアム・チャップルによって既に発表されていた。 ^{[ 4 ]}

この定理からオイラーの不等式が導かれる：^{[ 5 ]}$${\displaystyle R\geq 2r,}$$これは正三角形の場合 にのみ等号が成り立つ。^{[ 6 ]}

させて${\displaystyle O}$三角形の外接円の中心となる${\displaystyle ABC}$、そして${\displaystyle I}$その内円の中心となる。

光線が${\displaystyle AI}$外接円と交わる点${\displaystyle L}$、 それから${\displaystyle L}$弧の中点${\displaystyle BC}$光線を描きます${\displaystyle LO}$そして、外接円との交点をで表す。${\displaystyle M}$。

それから${\displaystyle LM}$は外接円の直径です。垂線を下ろします。${\displaystyle ID}$その地点から${\displaystyle I}$に${\displaystyle AB}$。 それから${\displaystyle ID=r}$オイラーの公式を次の形式で書き直してください。

${\displaystyle d^{2}-R^{2}=-2rR}$

左辺は点のべき乗であることに注目してください。${\displaystyle I}$外接円に関して。

したがって、等号を証明すれば十分である。${\displaystyle LI\cdot IA=2Rr}$。

三叉の補題により、${\displaystyle LI=LB,}$だから、それを証明すれば十分だ${\displaystyle LB\cdot IA=2Rr}$。

ここで注目してください${\displaystyle 2R=LM}$そして${\displaystyle r=ID,}$つまり、必要な等式は次のように書き換えることができる。${\displaystyle LB\cdot IA=LM\cdot ID.}$もう一度書き直すと、${\displaystyle LB/LM=ID/IA}$。

この等式は三角形の相似性から導かれる。${\displaystyle \triangle AID}$そして${\displaystyle \triangle MLB}$。

実際、${\displaystyle B}$そして${\displaystyle D}$これらの三角形では直角ですが、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle M}$両方とも弧を挟むので等しい${\displaystyle BL}$（さらに、比率${\displaystyle LB/LM=ID/IA}$角度の正弦に等しい${\displaystyle \angle BAL}$)

より強力なバージョン^{[ 6 ]}は $${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$$ どこ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$これらは三角形の辺の長さです。

もし$\displaystyle r_{a}}$そして$d_a$それぞれ頂点の反対側の内接円の半径を表す。${\displaystyle A}$そしてその中心と外接円の中心との間の距離は、$d_a^2=R(R+2r_a)$。

オイラーの不等式は、与えられた円に内接するすべての三角形について、内接円の半径の最大値は正三角形でのみ達成されるという形で、絶対幾何学において有効である。^{[ 7 ]}

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• ポンセレットの閉包定理は、同じ2つの円（したがって同じR、r、d）を持つ三角形が無限に存在することを示している。
• イーガン予想、高次元への一般化
• 三角不等式の一覧

• ワイスタイン、エリック W.、「オイラーの三角形公式」、MathWorld