オイラーのポンプとタービンの方程式

オイラーのポンプとタービンの方程式は、ターボ機械の分野で最も基本的な方程式です。これらの方程式は、ターボ機械の設計に寄与する出力、効率、およびその他の要因を規定します。これらの方程式の助けを借りて、ポンプによって発生するヘッドとタービンによって使用されるヘッドを簡単に決定できます。名前が示すように、これらの方程式は18世紀にレオンハルト・オイラーによって定式化されました。 ^[1]これらの方程式は、ポンプまたはタービンに適用する場合、運動量モーメント方程式から導くことができます。

ニュートンの力学の第 2 法則の結果として、すべてのターボ機械の基本となる角運動量(または「運動量のモーメント」) が保存されます。したがって、角運動量の変化は外部モーメントの合計に等しくなります。入口と出口での角運動量の変化、外部トルク、およびせん断応力による摩擦モーメントは、インペラまたはディフューザ に作用します。${\displaystyle \rho \cdot Q\cdot r\cdot c_{u}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\tau}}$

円筒面では円周方向に圧力は発生しないため、次のように記述できます。

${\displaystyle \rho Q(c_{2u}r_{2}-c_{1u}r_{1})=M+M_{\tau }\,}$（1.13）^[2]

${\displaystyle c_{2u}=c_{2}\cos \alpha _{2}\,}$

${\displaystyle c_{1u}=c_{1}\cos \alpha _{1}.\,}$

速度ベクトル u、c、w によって形成される色の三角形は速度三角形と呼ばれ、ポンプの動作を説明するのに役立ちます。

${\displaystyle c_{1}\,}$および はそれぞれ入口と出口における流体の絶対速度です。${\displaystyle c_{2}\,}$

${\displaystyle w_{1}\,}$およびは、それぞれ入口と出口におけるブレードに対する流体の相対速度です。${\displaystyle w_{2}\,}$

${\displaystyle u_{1}\,}$および はそれぞれ入口と出口におけるブレードの速度です。${\displaystyle u_{2}\,}$

${\displaystyle \omega}$角速度です。

図「a」と「b」は、それぞれ後方および前方に湾曲した羽根を持つインペラを示しています。

オイラーは式(1.13)に基づいて、羽根車によって生成される圧力ヘッドの式を作成した。

${\displaystyle Y_{th}=H_{t}\cdot g=c_{2u}u_{2}-c_{1u}u_{1}}$ （１）

${\displaystyle Y_{th}=1/2(u_{2}^{2}-u_{1}^{2}+w_{1}^{2}-w_{2}^{2}+c_{2}^{2}-c_{1}^{2})}$（２）

Y _th  : 理論上の比供給量; H _t  : 理論上のヘッド圧力; g: 重力加速度

ペルトン水車の場合、ヘッドの静的成分はゼロなので、式は次のようになります。

${\displaystyle H={1 \over {2g}}(V_{1}^{2}-V_{2}^{2}).\,}$

オイラーのポンプとタービンの方程式を使用すると、インペラの形状を変更するとヘッドにどのような影響があるかを予測できます。インペラの形状から、タービン/ポンプの性能に関する定性的な推定を行うことができます。

この方程式は、ロタルピー不変性として次のように表すことができます。

${\displaystyle I=h_{0}-uc_{u}}$

ここで、はローターブレード全体で一定です。 ${\displaystyle I}$

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