エテマディの不平等

確率論において、エテマディの不等式は、いわゆる「最大不等式」と呼ばれるもので、有限個の独立な確率変数の部分和が、ある特定の上限を超える確率の上限を与える不等式である。この結果は、ナスロラ・エテマディによるものである。

X ₁ , ..., X _{n を}ある共通の確率空間上で定義された独立な実数値確率変数とし、α ≥ 0 とする。S kを_部分和とする。

${\displaystyle S_{k}=X_{1}+\cdots +X_{k}.\,}$

それから

${\displaystyle \Pr {\Bigl (}\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq 3\alpha {\Bigr )}\leq 3\max _{1\leq k\leq n}\Pr {\bigl (}|S_{k}|\geq \alpha {\bigr )}.}$

確率変数X _{k の}期待値がゼロであると仮定します。エテマディの不等式の右辺にチェビシェフの不等式を適用し、 αをα / 3に置き換えます。結果として、右辺に係数 27 が追加されたコルモゴロフの不等式が得られます。

${\displaystyle \Pr {\Bigl (}\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq \alpha {\Bigr )}\leq {\frac {27}{\alpha ^{2}}}\operatorname {var} (S_{n})。}$

• ビリングスリー、パトリック（1995）。確率と測定。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-00710-2。（定理22.5）
• Etemadi, Nasrollah (1985). 「確率論におけるいくつかの古典的な結果について」. Sankhyā Ser. A . 47 (2): 215– 221. JSTOR 25050536 . MR 0844022 .