高速計算機による状態方程式の計算

「高速計算機による状態方程式の計算」は、ニコラス・メトロポリス、アリアナ・W・ローゼンブルース、マーシャル・N・ローゼンブルース、オーガスタ・H・テラー、エドワード・テラーが1953年に化学物理学ジャーナルに発表した学術論文です。 ^[1]この論文では、メトロポリス・モンテカルロアルゴリズムとして知られるようになったアルゴリズムが提案されました。これは後にメトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズムとして一般化され、原子および分子システムのモンテカルロ統計力学シミュレーションの基礎を形成します。 ^[2]

アルゴリズムの開発の功績については、議論の余地がある。2003 年以前には、アルゴリズムの開発に関する詳細な説明はなかった。その後、マーシャル・ローゼンブルースは、死の直前に、 1953 年の出版 50 周年を記念する LANL での 2003 年の会議に出席した。この会議で、ローゼンブルースは「統計力学のためのモンテカルロ アルゴリズムの起源」と題するプレゼンテーションで、アルゴリズムとその開発について説明した。^[3] グベルナティスは、2005 年の雑誌記事^[4]で、50 周年記念会議について詳細に述べている。ローゼンブルースは、自分と妻のアリアナがこの作業を行ったこと、メトロポリスはコンピューターの時間を提供した以外は開発に関与していないことを明確にしている。ローゼンブルースは、テラーが「詳細な運動学に従う代わりに、統計力学を利用して集団平均を取る」という重要だが初期の提案をしたことを称賛している。メトロポリス・ヘイスティングス法に関連して、帰属に関するさらなる明確化がなされている。ローゼンブルース夫妻はその後、モンテカルロ法を用いた2本のあまり知られていない論文を発表したが^{[5] [6] 、他の著者らはこのテーマの研究を続けなかった。しかし、1953年には既にマーシャルが}シャーウッド計画に採用され、その後プラズマ物理学に関心を向けた。ここで彼は現代のプラズマ流体および運動論、特にプラズマ不安定性の理論の多くの基礎を築いた。

モンテカルロ法は、結果を計算するのに繰り返しランダムサンプリングを利用する計算アルゴリズムの一種です。メトロポリスアルゴリズムが導入される前の統計力学アプリケーションでは、この方法は、システムのランダムな構成を多数生成し、各構成について関心のある特性（エネルギーや密度など）を計算し、各構成の重みがそのボルツマン係数exp(− E / kT )である加重平均を生成するというものでした。ここで、 Eはエネルギー、Tは温度、k はボルツマン定数です。メトロポリス論文の主な貢献は、

構成をランダムに選択して exp(− E / kT )で重み付けするのではなく、確率 exp(− E / kT ) で構成を選択し、均等に重み付けします。

— メトロポリスら^[1]

この変更により、サンプリングはボルツマン平均に最も寄与する低エネルギー構成に焦点が当てられるようになり、収束が改善されます。均等に重み付けできる確率 exp(− E / kT ) の構成を選択するために、著者らは次のアルゴリズムを考案しました。1) 各構成は、前の構成に対するランダムな移動によって生成され、新しいエネルギーが計算されます。2) 新しいエネルギーが低い場合、その移動は常に受け入れられます。それ以外の場合は、移動は exp(−Δ E / kT ) の確率で受け入れられます。移動が拒否されると、最後に受け入れられた構成が統計平均に再度カウントされ、次に試行される移動のベースとして使用されます。

論文の主なテーマは、2次元の剛体球系の状態方程式の数値計算でした。その後の研究で、この方法は3次元に一般化され、レナード・ジョーンズ・ポテンシャルを使用して流体にも適用されました。シミュレーションは224個の粒子のシステムに対して行われました。各シミュレーションは最大48サイクルで構成され、各サイクルは各粒子を1回移動することから構成され、ロスアラモス国立研究所のMANIACコンピューターを使用して約3分の計算時間を要しました。

表面効果を最小限に抑えるために、著者らは周期境界条件の使用を導入しました。これは、シミュレートされたシステムが格子内の単位セルとして扱われ、粒子がセルから出ると、反対側から自動的に入ってくることを意味します（システムをトポロジカルトーラスにします）。

約50年後にウィリアム・L・ジョルゲンセンが発表した展望によれば、「メトロポリスらは、流体のモンテカルロ統計力学シミュレーションの中核となっているサンプル法と周期境界条件を導入した。これは、20世紀の理論化学への大きな貢献の1つであった。」^[2] 2011年現在、この論文は18,000回以上引用されている。^[7]

別の観点からは、「メトロポリスアルゴリズムは、物理システムの数値シミュレーションにおける特定の問題に取り組むための手法として始まりましたが、その後、関数の最小化、計算幾何学、組み合わせ計算など、さまざまな驚くべき方向に応用範囲が広がるにつれて、このテーマは爆発的に広がりました。今日、メトロポリスアルゴリズムに関連するトピックは、深い理論に支えられ、物理シミュレーションから計算複雑性の基礎まで幅広い応用を持つ計算科学の分野全体を構成しています。」と言われています。^[8]

• 科学計算のタイムライン

• Metropolis, Nicholas; Rosenbluth, Arianna W.; Rosenbluth, Marshall N.; Teller, Augusta H.; Teller, Edward (1953). 「高速コンピューティングマシンによる状態方程式の計算」. J. Chem. Phys. 21 (6): 1087. Bibcode :1953JChPh..21.1087M. doi :10.1063/1.1699114. OSTI  4390578. S2CID  1046577. 2011-10-20に取得.
• ニコラス・メトロポリス(1987)。「モンテカルロ法の始まり」。ロスアラモスサイエンス、第 15 号、125 ページ。
• ハーバート・アンダーソン(1986)。「メトロポリス、モンテカルロ、そしてマニアック」。ロスアラモスサイエンス第 14 号、69 ページ。