アインシュタイングループ

アルバート・アインシュタインは、統一場理論のための変換群を探求する中で、次のように書いています。

「統一場理論を確立しようとするあらゆる試みは、私の意見では、4つの座標の連続変換のグループと同じくらい一般的な変換のグループから始めなければならない。なぜなら、より狭いグループに基づいた理論のためにグループのその後の拡大を探すことはほとんど成功しないだろうからである。」^[1]

特殊相対性理論の変換群であるポアンカレ群は直交しており、変換の逆は転置に等しく、離散的な反射を導入します。これは、グループに関するアインシュタインの格言「4つの座標の連続変換のグループと同じくらい一般的」に違反しています。具体的には、オイラー角の任意のペアθ _kと − θ _{k は}独立ではなく、ブーストの任意のペアv _k / cと − v _k / cも独立ではありません。したがって、使用可能なパラメータは、相対性理論の一般原理∂ x ^{μ ′} /∂ x ^νに従って曲がった時空でのすべての変換を表現するために必要な 16 から、ポアンカレ群の 10 に削減されます。

メンデル・サックスは1960年代に、アインシュタインが探し求めていた変換群、「アインシュタイン」群を発見した。^[2]アインシュタイン群は、時空不変区間の2乗を因数分解することで得られる。

ds ² = g _μν  dx ^μ  dx ^ν

を四元数形とその共役ds  ds*に変換すると、

ds = q _μ ( x )  dx ^μ

q _μ ( x ) はエルミート四元数の4元ベクトルである。

注意すべきは、アインシュタイン群は平坦な時空（特殊相対性限界）に近づくにつれてポアンカレ群に近づくが、決して到達しないということである。^[3]