イートンの不平等

確率論において、イートンの不等式は、有界確率変数の線形結合の最大値に対する上限です。この不等式は、1974 年に Morris L. Eaton によって記述されました。^{[ 1 ]}

{ X _{i } を、}期待値がゼロで、1 で上限が定められている ( | X _i | ≤ 1、1 ≤ i ≤ n ) 実数の独立な確率変数の集合とする。これらの変数は、同一分布または対称分布である必要はない。{ a _i } を、 n個の固定された実数の集合とする。

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1.}$

イートンは、

${\displaystyle P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\inf _{0\leq c\leq k}\int _{c}^{\infty }\left({\frac {zc}{kc}}\right)^{3}\phi (z)\,dz=2B_{E}(k),}$

ここで、φ ( x )は標準正規分布の確率密度関数である。

関連する境界はエーデルマンの境界である。

${\displaystyle P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\left(1-\Phi \left[k-{\frac {1.5}{k}}\right]\right)=2B_{Ed}(k),}$

ここで、Φ( x )は標準正規分布の累積分布関数である。

ピネリスはイートンの境界をより明確にできることを示した。^{[ 2 ]}

${\displaystyle B_{EP}=\min\{1,k^{-2},2B_{E}\}}$

イートンの境界の臨界値のセットが決定されました。^{[ 3 ]}

{ a _{i } を独立な}ラデマッハー確率変数の集合とする– P ( a _i = 1 ) = P ( a _i = −1 ) = 1/2。Zを平均0、分散1 の正規分布に従う変数とする。 { b _i } をn個の固定された実数の集合とする。

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1.}$

この最後の条件は、リース・フィッシャーの定理によって要求されるものであり、次のように述べられている。

${\displaystyle a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

収束するのは、

$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}$

有限である。

それから

${\displaystyle Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq Ef(Z)}$

f (x) = |x| ^pの場合。p ≥ 3の場合はWhittle ^{[ 4 ]}によって証明され、p ≥ 2 の場合は Haagerup ^{[ 5 ]によって証明されました。}

f (x) = e ^λx (λ ≥ 0) の 場合、

${\displaystyle Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq \inf \left[{\frac {E(e^{\lambda Z})}{e^{\lambda x}}}\right]=e^{-x^{2}/2}}$

ここでinfは最小値である。^{[ 6 ]}

させて

${\displaystyle S_{n}=a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

そして^{[ 7 ]}

${\displaystyle P(S_{n}\geq x)\leq {\frac {2e^{3}}{9}}P(Z\geq x)}$

最後の不等式における定数は約4.4634です。

別の境界も知られています: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle P(S_{n}\geq x)\leq e^{-x^{2}/2}}$

この最後の境界は、ホフディングの不等式に関連している。

すべてのb _i = n ^−1/2 が均一な場合、S _nの最大値はn ^1/2です。この場合、van Zuijlen は^{[ 9 ]を示しました。}

${\displaystyle P(|\mu -\sigma |)\leq 0.5\,}$

ここで、 μは合計の平均、σは合計の標準偏差である。