ダンクル演算子

数学、特にリー群の研究において、ダンクル演算子は、微分演算子だけでなく、基礎となる空間での 反射も含む、ある種の数学演算子です。

正式には、G を、簡約ルート系Rを持つコクセター群とし、k _{v を}R上の任意の「重複」関数とします（したがって、ルートuとvに対応する反射 σ _uと σ _vがGで共役である場合は常にk _u = k _vです）。すると、ダンクル演算子は次のように定義されます。

${\displaystyle T_{i}f(x)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(x)+\sum _{v\in R_{+}}k_{v}{\frac {f(x)-f(x\sigma _{v})}{\left\langle x,v\right\rangle }}v_{i}}$

ここで、 はvのi番目の要素、 1 ≤ i ≤ N、xはR ^N、f はR ^N上の滑らかな関数です。 ${\displaystyle v_{i}}$

ダンクル演算子は、チャールズ ダンクル(1989)によって導入されました 。ダンクルの主要な成果の 1 つは、ダンクル演算子が「交換可能」である、つまり偏微分と同じように条件を満たすという点です。したがって、ダンクル演算子は偏微分の意味のある一般化を表します。 ${\displaystyle T_{i}(T_{j}f(x))=T_{j}(T_{i}f(x))}$

• ダンクル、チャールズ F. (1989)、「反射群に関連する微分差分演算子」、アメリカ数学会誌、311 (1): 167–183、doi : 10.2307/2001022、ISSN  0002-9947、MR  0951883