射影スライス定理

数学において、 2次元における射影スライス定理、中心スライス定理、またはフーリエスライス定理は、次の2つの計算結果が等しいことを述べている。

• 2次元関数f ( r ) を取り、それを (ラドン変換などを使用して) 1次元の直線に投影し、その投影のフーリエ変換を実行します。
• 同じ関数を取り上げ、まず2次元フーリエ変換を行い、次にその関数を原点を通るように、投影線に平行にスライスします。

演算子の用語では、

• F ₁と F ₂は、上述の 1 次元および 2 次元のフーリエ変換演算子である。
• P ₁は射影演算子（2 次元関数を 1 次元直線に射影する）です。
• S ₁はスライス演算子（関数から 1 次元の中心スライスを抽出する）です。

それから

${\displaystyle F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}.}$

この考え方は、より高次元にも拡張できる。

この定理は、例えば、医療用 CTスキャンの解析で使用されます。CTスキャンでは、「投影」とは内臓のX線画像のことです。これらの画像のフーリエ変換は、内臓の3次元密度のフーリエ変換のスライスであることがわかります。これらのスライスを補間することで、その密度の完全なフーリエ変換を構築できます。次に、逆フーリエ変換を使用して、対象物の3次元密度を復元します。この手法は、 1956年にロナルド・N・ブレイスウェルが電波天文学の問題のために初めて考案しました。^{[ 1 ]}

N次元の場合、射影スライス定理は、 N次元関数 f ( r )をm次元線形部分多様体に射影したもののフーリエ変換は、その関数のN次元フーリエ変換のm次元スライス に等しいと述べている。このスライスは、フーリエ空間内の原点を通るm次元線形部分多様体であり、射影部分多様体に平行である。演算子の用語で表すと次のようになる。

${\displaystyle F_{m}P_{m}=S_{m}F_{N}.\,}$

N次元への一般化に加えて、射影スライス定理は任意の基底変換によってさらに一般化できます。^{[ 2 ]}表記の便宜上、基底変換はN次元列ベクトルに作用するN × Nの可逆行列Bで表されるとします。すると、一般化されたフーリエスライス定理は次のように表すことができます。

${\displaystyle F_{m}P_{m}B=S_{m}{\frac {B^{-T}}{|B^{-T}|}}F_{N}}$

どこ${\displaystyle B^{-T}=(B^{-1})^{T}}$これは、基底変換の逆変換の転置です。

投影スライス定理は、2次元の場合に容易に証明できます。 一般性を失うことなく、投影線をx軸とすることができます。シフトおよび回転した線を使用しても法則が依然として適用されるため、一般性を失うことはありません。シフトした線（y方向）を使用すると、同じ投影が得られ、したがって同じ1次元フーリエ変換結果が得られます。回転した関数は、回転したフーリエ変換のフーリエ対であり、この場合も定理が成り立ちます。

f ( x , y )が2次元関数である場合、 f ( x , y )のx軸への射影はp ( x )であり、  

${\displaystyle p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.}$

フーリエ変換${\displaystyle f(x,y)}$は

${\displaystyle F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.}$

スライスは${\displaystyle s(k_{x})}$

${\displaystyle s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

これは、 p ( x )のフーリエ変換に他なりません。より高次元の場合の証明は、上記の例から容易に一般化できます。

2次元関数f ( r ) が円対称である場合、 f ( r )と表すことができます。ここでr  =  | r | です。この場合、任意の投影線への投影はf ( r )のアーベル変換になります。f ( r ) の2次元フーリエ変換は、 f ( r )のゼロ次ハンケル変換によって与えられる円対称関数となり、したがって、原点を通る任意の断面も表します。投影断面定理は、投影のフーリエ変換が断面に等しいことを述べています。

${\displaystyle F_{1}A_{1}=H,}$

ここで、A _{1 は}、2 次元の円対称関数を 1 次元の直線に射影するアーベル変換演算子を表し、F _{1 は}1 次元のフーリエ変換演算子を表し、H はゼロ次のハンケル変換演算子を表します。

投影スライス定理は、平行ビーム投影によるCT画像再構成に適しています。ファンビームCTやコーンビームCTには直接適用できません。この定理は、1995年に趙双仁によってファンビームCTおよびコーンビームCT画像再構成に拡張されました。^{[ 3 ]}

• ラドン変換 § フーリエ変換との関係

• Bracewell, Ronald N. ( 1990). "数値変換". Science . 248 (4956): 697–704 . Bibcode : 1990Sci...248..697B . doi : 10.1126/science.248.4956.697 . PMID 17812072. S2CID 5643835 .  
• Bracewell, Ronald N. (1956). "電波天文学におけるストリップ積分" . Aust. J. Phys . 9 (2): 198. Bibcode : 1956AuJPh...9..198B . doi : 10.1071/PH560198 .
• ガスキル、ジャック・D. (2005).線形システム、フーリエ変換、および光学. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ニューヨーク。ISBN 978-0-471-29288-3。
• Ng, Ren (2005). "フーリエスライス写真" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 24 (3): 735– 744. doi : 10.1145/1073204.1073256 .
• Zhao, Shuang-Ren; Halling, Horst (1995). 「自由光源経路による円錐ビーム投影の一般化フーリエ法による再構成」。1995年放射線医学および核医学における完全三次元画像再構成に関する国際会議議事録：323–7。
• Garces, Daissy H.; Rhodes, William T.; Peña, Néstor (2011). "The Projection-Slice Theorem: A Compact Notation". Journal of the Optical Society of America A. 28 ( 5): 766–769 . Bibcode : 2011JOSAA..28..766G . doi : 10.1364/JOSAA.28.000766 . PMID 21532686 . 

• フーリエスライス定理（動画）。「コンピュータ断層撮影とASTRAツールボックス」コースの一部。アントワープ大学。2015年9月10日。