悪魔のカーブ

幾何学において、悪魔の曲線は、 2本の棒の上の悪魔としても知られ、直交平面上で次の式によって 定義される曲線である。

${\displaystyle y^{2}(y^{2}-b^{2})=x^{2}(x^{2}-a^{2}).}$^[1]

この曲線の極方程式は次のようになる。

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {b^{2}\sin^{2}\theta -a^{2}\cos^{2}\theta }{\sin^{2}\theta -\cos^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {b^{2}-a^{2}\cot^{2}\theta }{1-\cot^{2}\theta }}}}$。

悪魔の曲線は1750年にガブリエル・クレイマーによって発見され、彼はこれを徹底的に研究した。^[2]

名前は、中心のレムニスケートをグラフにしたときの形に由来しています。この形は、悪魔にちなんで名付けられたジャグリングゲーム「ディアボロ」にちなんで名付けられており^[3]、2本の棒、ひも、レムニスケートに似た回転する小道具を使用します^{[4] 。}

の場合、中央のレムニスケート（砂時計とも呼ばれる）は水平です。 の場合、それは垂直です。 の場合、形状は円になります。垂直の砂時計は で y 軸と交差します。水平の砂時計は で x 軸と交差します。 ${\displaystyle |b|>|a|}$${\displaystyle |b|<|a|}$${\displaystyle |b|=|a|}$${\displaystyle b,-b,0}$${\displaystyle a,-a,0}$

悪魔の曲線の特別なケースは で発生し、この曲線は電動機曲線と呼ばれます。^[5]これは次の式で定義されます。 ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {25}{24}}}$

${\displaystyle y^{2}(y^{2}-96)=x^{2}(x^{2}-100)}$。

この特殊なケースの名前は、中央の形状が、周囲の磁石の力によって回転するワイヤーのコイルに似ていることに由来しています。

• Weisstein、Eric W.「悪魔の曲線」。MathWorld。
• MacTutor 数学史 (セント・アンドリュース大学) – 悪魔の曲線