怠慢な支配

離散時間制御理論において、デッドビート制御問題とは、システムの出力を最小の時間ステップ数で定常状態にするために、システムにどのような入力信号を適用すべきかを求める問題である。

N次線形システムの場合、システムがヌル制御可能（何らかの入力によって状態ゼロにできる）であれば、この最小ステップ数は最大でN （初期条件による）であることが示されます。解決策は、閉ループ伝達関数のすべての極がz平面の原点にあるようにフィードバックを適用することです。このアプローチは線形システムでは簡単です。しかし、非線形システムの場合、デッドビート制御は未解決の研究課題です。^{[ 1 ]}

デッドビート制御における唯一の設計パラメータはサンプリング周期です。誤差がNサンプリング周期以内にゼロに近づくと、整定時間はNhの範囲内に収まります。ここでhはサンプリングパラメータです。

また、制御信号の大きさはサンプリング周期が短くなるにつれて著しく増加する。したがって、この制御方法を用いる際には、サンプリング周期を慎重に選択することが重要である。^{[ 2 ]}

最後に、コントローラはプラントの極と零点を相殺することに基づいているため、これらを正確に知る必要があり、そうでないとコントローラはデッドビートになりません。^{[ 3 ]}

プラントの伝達関数を考えてみましょう。

${\displaystyle \mathbf {G} (z)={\frac {B(z)}{A(z)}}}$

どこ

${\displaystyle A(z)=a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots a_{m}z^{-m},}$

${\displaystyle B(z)=b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots b_{n}z^{-n}.}$

対応するデッドビートコントローラの伝達関数は^{[ 4 ]である。}

${\displaystyle \mathbf {C} (z)={\frac {A(z)/B(1)}{z^{d}-B(z)/B(1)}},}$

ここで、 dはコントローラが実現可能となるために必要な最小システム遅延です。例えば、2極システムでは、コントローラから出力までの遅延が最低でも2ステップ必要となるため、d = 2となります。

閉ループ伝達関数は

${\displaystyle \mathbf {L} (z)={\frac {B(z)/B(1)}{z^{d}}},}$

そして、すべての極が原点にある。

• カイラス、トーマス：線形システム、プレンティスホール、1980年、 ISBN 9780135369616
• Warwick, Kevin :確率システムの適応型デッドビート制御、International Journal of Control、44(3)、651-663、1986年。
• Dorf, Richard C.; Bishop, Robert H. (2005).現代制御システム. Upper Saddle River, NJ 07458: Pearson Prentice Hall. pp. 617–619 . {{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所 (リンク)