ド・モアブルの法則

ド・モアブルの法則は、保険数理科学に応用される生存モデルであり、アブラハム・ド・モアブルにちなんで名付けられました。^{[1] [2] [3]これは、線形}生存関数に基づいた死亡率の単純な法則です。

ド・モアブルの法則には、終年齢と呼ばれる単一のパラメータがあります。ド・モアブルの法則によれば、新生児が少なくともx年間 生存する確率は、生存関数^{[4]によって与えられます。}${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle S(x)=1-{\frac {x}{\omega }},\qquad 0\leq x<\omega .}$

保険数理の表記 では、(x) は年齢xまで生き延びた状態または生命を表し、T ( x ) は(x)の将来の寿命を表します( T ( x )はランダム変数です)。(x)が年齢x+tまで生き延びる条件付き確率はPr[T(0) ≥ x+t | T(0) ≥ x] = S(x+t) / S(x) であり、 と表記されます。^{[5]ド・モアブルの法則によれば、} x歳の生命が少なくともt年以上 生き延びる 条件付き確率は${\displaystyle {}_{t}p_{x}}$

${\displaystyle {}_{t}p_{x}={\frac {S(x+t)}{S(x)}}={\frac {\omega -(x+t)}{\omega -x}},\qquad 0\leq t<\omega -x,}$

そして将来の生涯のランダム変数T ( x )は、したがって一様分布に 従います。 ${\displaystyle (0,\,\omega -x)}$

条件付き失敗確率の保険数理表記は= Pr[0 ≤ T(x) ≤ t|T(0) ≥ x]である。ド・モアブルの法則によれば、 (x)が年齢x+tまで生存できない確率は ${\displaystyle {}_{t}q_{x}}$

${\displaystyle {}_{t}q_{x}={\frac {S(x)-S(x+t)}{S(x)}}={\frac {t}{\omega -x}}.}$

死亡率（ハザード率または故障率）は、f(x)が確率密度関数である。ド・モアブルの法則によれば、 x歳の生命に対する死亡率は、 ${\displaystyle \mu (x)=-S'(x)/S(x)=f(x)/S(x),}$

${\displaystyle \mu (x+t)={\frac {1}{\omega -(x+t)}},\qquad 0\leq t<\omega -x,}$

経年変化に応じて故障率が増加するという特性があります。

ド・モアブルの法則は死亡率の単純な解析法則として適用され、線形仮定は生命表などの離散生存モデルの補間モデルとしても適用されます。

ド・モアブルの法則は、1725 年に出版された『生命年金』に初めて登場した。これは保険数理の教科書として知られている最古の例である。^[6] 現在ではそのように呼ばれているが、ド・モアブル自身は、この法則 (彼は「仮説」と呼んだ) が人間の死亡率のパターンを正確に表しているとは考えていなかった。むしろ、彼は年金の費用を計算する際の有用な近似値としてこの法則を導入した。ド・モアブルは、そのテキストの中で、「… 均等な寿命の減少という概念は…表と完全には一致しないが、その概念は12 歳以下の年齢の年金の価値の表を作成する際にうまく使用できる…」と述べている。^[7] さらに、彼のテキストには、予想される将来の寿命全体に適用される代数的証明が含まれていたが、ド・モアブルは限られた年数にのみ適用される代数的証明も提供した。この後者の結果が、その後の彼の数値例で使用された。これらの例は、ド・モアブルが仮説を区分的に使用し、人間の死亡率の全体的なパターンをいくつかの直線セグメントで近似できると仮定したことを示しています (右の図を参照)。彼は、「寿命の減少は、任意の短い時間間隔に対して、合理的な誤りなしに等しいと想定できるため、寿命全体をいくつかのより短い間隔に分割すると、終身年金の価値は、任意の観測表および任意の利率に従って簡単に計算できます」と書いています。^[8] 両方の引用で、ド・モアブルが言及した「表」は、保険数理生命表を指しています。

現代の著者は、死亡率法則の歴史におけるド・モアブルの役割の扱いに一貫性がない。一方で、ディック・ロンドンはド・モアブルの法則を、人間の生存のモデルとしての使用が「最初に提案された連続確率分布」と表現している。 ^[9] ロバート・バッテンも同様の見解を示し、「[ド・モアブルの]仮説は...もちろん非現実的であることが判明している」と付け加えている。^{[10]対照的に、シュピーゲルマン[11]}とベンジャミン^[12] による分析的人間生存モデルの調査では、ド・モアブルについてはまったく触れられていない (どちらの場合も、調査はベンジャミン・ゴンペルツの研究から始まっている)。スティーブン・ハーバーマンは保険数理科学の歴史に関するエッセイでド・モアブルについて触れているが、「生命保険の数学」のセクションで触れており、「生命表と生存モデル」のセクションでは触れていない。^{[13] CWジョーダンは著書『} Life Contingencies』 の中で、ある種の中立的な立場を取った。彼は「死亡率に関するいくつかの有名な法則」の節にド・モアブルを取り上げているが、「ド・モアブルは、これが非常に大まかな近似値であることを認識していたが、その目的は、当時は困難な作業であった終身年金の価値の計算を簡素化するという実用的なものであった」と付け加えている。^[14]

ド・モアブル自身が彼の「仮説」が人間の死亡率の真の反映であるとは考えていなかったことを示すもう 1 つの証拠は、彼が『生命年金』で 2 つの異なる仮説を提示したという事実である。彼が複数の生命に対して支払われる年金の価値評価の問題に目を向けたとき、ド・モアブルは、死亡数 (年間) が同じという仮定を捨て、各年齢での死亡確率が同じという仮定 (つまり、現在「死亡率の一定力」仮定と呼ばれているもの) を採用するのが都合が良いことに気付いた。一定力仮定は今日でも死亡率の単純な分析法則として認識されているが、「ド・モアブルの第二法則」などの別名で知られることはなかった。^[15]

• 1725年版の生命年金