上限定理

数学において、上界定理は、与えられた次元と頂点数を持つすべての凸多面体の中で、巡回多面体が可能な限り最大の面数を持つことを述べています。これは、多面体組合せ論の中心的な結果の 1 つです。

もともと上限予想として知られていたこの命題は、セオドア・モツキンによって定式化され、1970年にピーター・マクマレンによって証明され、^{[1] 1975年に}リチャード・P・スタンレーによって多面体から球面の細分へと強化されました。

巡回多面体は、モーメント曲線上の頂点の凸包、つまり座標を持つ次元点の集合として定義できます。この曲線上のどの点を選択するかという正確な選択は、この多面体の組み合わせ構造には関係ありません。の次元面の数は、次の式で与えられます。 ${\displaystyle \Delta (n,d)}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle (t,t^{2},t^{3},\dots )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Delta (n,d)}$$${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$$

デーン・ゾンマービル方程式によって完全に決定されます。面の数に関する同じ公式は、より一般的には任意の近傍多面体に対しても当てはまります。 ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$

上界定理によれば、 が頂点を持つ次元の単体球面である場合、 となります。単体球面の次元についてと巡回多面体の次元 についての違いは、次元多面体 (巡回多面体など)の表面が球面の 次元の細分化であるという事実に由来します。したがって、上界定理は、任意の多面体の面の数が、同じ次元および頂点数を持つ巡回多面体または隣接多面体の面の数を超えることは決してないことを意味します。漸近的には、これはすべての次元の面が最大で 個あることを意味します。同じ上限は単体ではない凸多面体にも当てはまり、そのような多面体の頂点を摂動すると (および摂動された頂点の凸包を取ると)、面の数しか増加しません。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (d-1)}$${\displaystyle \scriptstyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}$

単体多面体の上限予想は、1957 年に Motzkin によって提案され、1970 年に McMullen によって証明されました。彼の証明の重要な要素は、 hベクトルに関する次の再定式化でした。

${\displaystyle h_{i}(\Delta )\leq {\tbinom {n-d+i-1}{i}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i\leq \left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor .}$

ヴィクトル・クレーは、同じ命題がすべての単体球面に対して成り立つはずだと示唆し、これは実際に1975年にスタンレー^{[2]によって}スタンレー・ライスナー環の概念とホモロジー法を用いて確立された。この定理の歴史的な説明については、スタンレーの論文「上界予想の証明方法」を参照のこと。^[3]