いとこの定理

数学の一分野である実解析において、クーザンの定理は次のように述べている。

閉領域（現代の用語では「閉じていて境界がある」）のすべての点に対して、有限半径の円（現代の用語では「近傍」）が存在する場合、その領域は有限個の部分領域に分割でき、各部分領域は、その部分領域を中心とする与えられた集合の円の内部にある。^{[ 1 ]}

この結果はもともとアンリ・ポアンカレの弟子であるピエール・クーザンによって1895年に証明されたもので、コンパクト部分集合の任意の被覆に対するハイネ・ボレルのコンパクト性定理を拡張するものである。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$しかし、ピエール・クーザンは功績を認められなかった。クーザンの定理は、一般的にアンリ・ルベーグの定理としてボレル＝ルベーグの定理とされている。ルベーグはこの結果を1898年には認識しており、1903年の博士論文でそれを証明した。^{[ 1 ]}

現代的な言い方をすれば、それは次のように表現されます。

させて$\displaystyle {\mathcal {C}}}$[ a , b ]の完全被覆、すなわち [ a , b ] の閉部分区間の集合で、すべてのx ∈ [ a , b ] に対して、あるδ >0が存在し、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$[ a , b ]のすべての部分区間のうち、xを含み、長さがδより小さいものが含まれる。すると、分割が存在する。${\displaystyle {I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}}}$[ a , b ]の重複しない区間の、${\displaystyle I_{i}=[x_{i-1},x_{i}]\in {\mathcal {C}}}$また、1≤ i≤ nのすべての i に対してa = x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _n = bとなります。

いとこの補題は逆数学において研究されており、必要な内包公理の観点から証明するのが難しい最初の3階定理の1つである。

クーザンの定理はヘンストック・クルツヴァイル積分学の研究において重要な役割を果たしており、この文脈ではクーザンの補題または細かさの定理として知られています。

ゲージ​${\displaystyle [a,b]}$は厳密に正の実数値関数である${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} 、一方、タグ付きパーティションは${\displaystyle [a,b]}$有限数列である^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle P=\langle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq \cdots \leq x_{\ell -1}\leq t_{\ell }\leq x_{\ell }=b\rangle }$

ゲージが与えられた場合${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} およびタグ付きパーティション${\displaystyle P}$の${\displaystyle [a,b]}$私たちは言う${\displaystyle P}$は${\displaystyle \delta }$全員にとって良いなら${\displaystyle 1\leq j\leq \ell }$、 我々は持っています${\displaystyle [x_{j-1},x_{j}]\subseteq B{\big (}t_{j},\delta (t_{j}){\big )}}$、 どこ${\displaystyle B(x,r)}$半径の開いた球を表す${\displaystyle r}$中心は${\displaystyle x}$いとこの補題は次のように述べられる。

もし${\displaystyle a\leq b\in \mathbb {R} }$すると、すべてのゲージ${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} は${\displaystyle \delta }$-細かい分割。^{[ 4 ]}

カズンの定理には、直観主義的な証明があり、それは開帰納法の原理を用いて次のように表される。

開集合${\displaystyle S}$閉じた実数区間の${\displaystyle [a,b]}$帰納的であると言われるのは、以下の条件を満たす場合である。${\displaystyle [a,r)\subset S}$暗示する${\displaystyle [a,r]\subset S}$開帰納原理によれば、任意の帰納的開部分集合は${\displaystyle S}$の${\displaystyle [a,b]}$セット全体である必要があります。