接続定数

数学において、結合定数は、格子上の自己回避ウォークに関連付けられた数値量です。これは、 2次元統計物理モデルにおける普遍性の概念と関連して研究されています。 ^[1]結合定数は格子の選択に依存するため、それ自体は普遍的ではありませんが（パーコレーション の臨界確率閾値などの他の格子依存量と同様に）、それでもなお、普遍法則の予想に現れる重要な量です。さらに、結合定数を理解するために使用される数学的手法、たとえば、六方格子の結合定数が正確な値 を持つというDuminil-CopinとSmirnovによる最近の厳密な証明は、自己回避ウォークの研究における他の重要な未解決問題、特に自己回避ウォークがシュラム-レーヴナー進化のスケーリング限界で収束するという予想に取り組むための可能なアプローチへの手がかり^[2]を提供する可能性があります。 ${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$

連結定数は次のように定義されます。 は、格子内の固定された原点から始まるnステップの自己回避ウォークの数を表します。すべてのn  +  mステップの自己回避ウォークは、 nステップの自己回避ウォークと m ステップの自己回避ウォークに分解できるため、 となります。次に、上記の関係の対数にフェケテの補題を適用すると、極限が存在することが示されます。この数は連結定数と呼ばれ、 であるため、ウォークに選択された特定の格子に明らかに依存します。 の値は、2 つの格子についてのみ正確に知られています (以下を参照)。他の格子については、 は数値的に近似されているだけです。nが無限大に近づくにつれて、 および の臨界振幅は格子に依存し、指数 は普遍的であり格子の次元に依存すると考えられており、 であると推測されます。^[3]${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle c_{n+m}\leq c_{n}c_{m}}$${\displaystyle \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}^{1/n}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle c_{n}\approx \mu^{n}n^{\gamma -1}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =43/32}$

これらの値は、1998年のJensen-Guttmann論文^[4]と、より最近のJacobsen、Scullard、Guttmannの論文^[5]から引用されている。格子 の連結定数は、六角形格子上の各ステップが2つまたは3つのステップに対応するため、多項式の最大実根として正確に表現できる。 ${\displaystyle (3.12^{2})}$

${\displaystyle x^{12}-4x^{8}-8x^{7}-4x^{6}+2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2}$

六方格子の結合定数の正確な式が与えられています。これらの格子に関する詳しい情報は、パーコレーションしきい値の記事で参照できます。

2010 年、Hugo Duminil-Copin とStanislav Smirnov は、六方格子に対して事実が成り立つことを初めて厳密に証明しました。 ^{[2]これは、1982 年に Nienhuis が、くりこみ技術を使用した O(} n ) モデルのより大規模な研究の一環として推測していました。^[6]この事実の厳密な証明は、複素解析のツールを離散確率モデルに適用するプログラムから生まれ、このプログラムでは、イジング モデルなどについても印象的な結果が出ています。^[7]この議論は、六方格子の離散コーシー-リーマン方程式の半分を満たすパラフェルミオン観測量の存在に依存しています。自己回避ウォークの定義を少し変更し、頂点間の中間辺で開始および終了するようにします。H を六方格子のすべての中間辺の集合とします。2つの中間辺と の間の自己回避ウォークについて、を訪れた頂点の数とし、 を から まで横断するときの 方向の全回転をラジアンで表したものを と定義する。証明の目的は、分割関数が ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \ell (\gamma )}$${\displaystyle W_{\gamma }(a,b)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle Z(x)=\sum _{\gamma :a\to H}x^{\ell (\gamma )}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

は に対して収束し、 に対して発散します。ここで、臨界パラメータは で与えられます。これは、 が成り立つことを直ちに示します。 ${\displaystyle x<x_{c}}$${\displaystyle x>x_{c}}$${\displaystyle x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

六方格子の領域、開始中間辺、および2つのパラメータとが与えられたとき、パラフェルミオン観測可能量を定義する。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(z)=\sum _{\gamma \subset \Omega :a\to z}e^{-i\sigma W_{\gamma }(a,z)}x^{\ell (\gamma )}.}$

かつならばの任意の頂点に対して、 ${\displaystyle x=x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$${\displaystyle \sigma =5/8}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle (p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0,}$

ここで、中間辺は から発散します。この補題は、パラフェルミオン観測量が発散フリーであることを確立します。回転フリーであることは示されていませんが、これはいくつかの未解決問題を解決するでしょう (予想を参照)。この補題の証明は、六方格子の幾何学に大きく依存する巧妙な計算です。 ${\displaystyle p,q,r}$${\displaystyle v}$

次に、左側に 2L 個のセル、横に T 個のセル、上側と下側が の角度で囲まれた有限台形領域に注目します。(図が必要) 六角形格子を複素平面に埋め込み、辺の長さが 1 で、左側の中央の辺が -1/2 に位置するようにします。すると、 の頂点は次のように表されます 。${\displaystyle S_{T,L}}$${\displaystyle \pm \pi /3}$${\displaystyle S_{T,L}}$

${\displaystyle V(S_{T,L})=\{z\in V(\mathbb {H} ):0\leq Re(z)\leq {\frac {3T+1}{2}},\;|{\sqrt {3}}Im(z)-Re(z)|\leq 3L\}.}$

ここで、境界の異なる部分から始まり、異なる部分で終わる自己回避歩行の分割関数を定義します。左側の境界、右側の境界、上部の境界、下部の境界を表します。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\bar {\epsilon }}}$

${\displaystyle A_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.}$

アイデンティティを合計すると

${\displaystyle (p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0}$

のすべての頂点について、そして、パスが境界のどの部分で終わるかによって曲がり具合が固定されることに注目すると、次の関係式が得られる。 ${\displaystyle V(S_{T,L})}$

${\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}+\cos(\pi /4)E_{T,L}^{x_{c}}}$

もう一つの巧みな計算の後、 とすると、ストリップ領域と分割関数が 得られる。${\displaystyle L\to \infty }$${\displaystyle S_{T}}$

${\displaystyle A_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.}$

後に であることが証明されたが、証明にはこれを必要としない。^[8] 関係式が残る。 ${\displaystyle E_{T,L}^{x_{c}}=0}$

${\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}}$。

ここから不等式を導くことができる

${\displaystyle A_{T+1}^{x_{c}}-A_{T}^{x_{c}}\leq x_{c}(B_{T+1}^{x_{c}})^{2}}$

そして、帰納法により、 の厳密に正の下限に到達します。 なので、 であることが証明されています。 ${\displaystyle B_{T}^{x_{c}}}$${\displaystyle Z(x_{c})\geq \sum _{T>0}B_{T}^{x_{c}}=\infty }$${\displaystyle \mu \geq {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

逆不等式については、ハニカム格子上の任意の自己回避歩行に対して、歩行を幅とのブリッジにハマースリーとウェルシュによる標準分解する。 ${\displaystyle T_{-I}<\cdots <T_{-1}}$${\displaystyle T_{0}>\cdots >T_{j}}$

${\displaystyle B_{T}^{x}\leq (x/x_{c})^{T}B_{T}^{x_{c}}\leq (x/x_{c})^{T}}$

これは を意味する。最後に、ブリッジ分割関数によって分割関数を制限することが可能である。 ${\displaystyle \prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})<\infty }$

${\displaystyle Z(x)\leq \sum _{T_{-I}<\cdots <T_{-1},\;T_{0}>\cdots >T_{j}}2\left(\prod _{k=-I}^{j}B_{T_{k}}^{x}\right)=2\left(\prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})\right)^{2}<\infty .}$

そして、私たちはそれを望みどおりに手に入れました。 ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=2\cos {\frac {\pi }{8}}}$

ニーンハウスは、自己回避ランダムウォークの平均二乗変位がスケーリング関係 を満たす というフローリーの予測を支持して主張した。^[2] スケーリング指数と普遍定数は、自己回避ウォークが を満たすシュラム・レーヴナー発展であると推測される共形不変スケーリング限界を持つ場合に計算できる。^[9]${\displaystyle \langle |\gamma (n)|^{2}\rangle }$${\displaystyle \langle |\gamma (n)|^{2}\rangle ={\frac {1}{c_{n}}}\sum _{n\;\mathrm {step\;SAW} }|\gamma (n)|^{2}=n^{2\nu +o(1)}}$${\displaystyle \nu =3/4}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle 11/32}$${\displaystyle \kappa =8/3}$

• 浸透閾値

• Weisstein、Eric W.「自己回避ウォーク連結定数」。MathWorld。