コーン・フォッセンの不等式

微分幾何学において、シュテファン・コーン＝フォッセンにちなんで名付けられたコーン＝フォッセンの不等式は、非コンパクト曲面のガウス曲率の積分とオイラー特性を関連付けます。これは、コンパクト曲面に対するガウス・ボネの定理に似ています。

リーマン多様体内の発散経路とは、多様体のいかなるコンパクト部分集合にも含まれない、多様体内の滑らかな曲線のことである。完全多様体とは、多様体上のリーマン計量に関して、すべての発散経路が無限長である多様体である。コーン＝フォッセンの不等式は、有限の全曲率と有限のオイラー特性を持つすべての完全リーマン2次元多様体Sにおいて、 ^[1]

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA\leq 2\pi \chi (S),}$

ここで、Kはガウス曲率、dAは面積要素、χ はオイラー特性です。

• S がコンパクト面（境界なし）である場合、不等式はコンパクト多様体に対する通常のガウス・ボネの定理により等式になります。
• Sに境界がある場合、ガウス・ボネの定理は

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA=2\pi \chi (S)-\int _{\partial S}k_{g}\,ds}$

ここで、は境界の測地曲率であり、その積分は境界曲線に対して必ず正となる全曲率であり、不等式は厳密である。( Sの境界が区分的に滑らかな場合も同様の結果が成り立つ。)${\displaystyle k_{g}}$

• S が平面R ²である場合、 Sの曲率はゼロで、χ ( S ) = 1 なので、不等式は厳密です: 0 < 2 π。

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• ガウス・ボネの定理、数学百科事典、コーン・フォッセンの不等式の簡単な説明を含む