閉じた凸関数

数学では、各 に対して、サブレベル セット が閉集合である場合、関数は 閉じていると言われます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\in {\mbox{dom}}f\vert f(x)\leq \alpha \}}$

同様に、によって定義された エピグラフ が閉じている場合、関数は閉じています。 ${\displaystyle {\mbox{epi}}f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\vert x\in {\mbox{dom}}f,\;f(x)\leq t\}}$${\displaystyle f}$

この定義は任意の関数に対して有効ですが、凸関数で最もよく使用されます。適切な凸関数が閉じているのは、それが下半連続である場合のみです。^[1]

• が連続関数であり、が閉じている場合、 は閉じています。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$${\displaystyle f}$
• が連続関数で開関数である場合、が の境界点に収束するすべての列に沿ってに収束する場合に限り、は閉関数となる。^[2]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle {\mbox{dom}}f}$
• 閉じた真凸関数f は、 h ≤ f を満たすすべてのアフィン関数hの集合の各点の最大値です（ fのアフィン小関数と呼ばれる）。

• Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970].凸解析. プリンストン、ニュージャージー: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-01586-6。