チョウの補題

ウェイ・リャン・チョウにちなんで名付けられたチョウの補題は、代数幾何学における基礎的な結果の1つです。これは、大まかに言って、真射は射影射にかなり近いということです。より正確には、そのバージョンでは次のように述べられています。^[1]

がネーター基底上で適切なスキームである場合、ある稠密な開写像 に対して同型を誘導する射影的-スキームと射影的-写像が存在する。${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle f^{-1}(U)\simeq U}$${\displaystyle U\subseteq X.}$

ここでの証明は標準的なものである。^[2]

まず、 が既約な場合を帰着できます。まず、はネーター基底上の有限型なのでネーターです。したがって、 は有限個の既約成分 を持ち、それぞれに対して、 が集合論的像を持ち、が の開稠密部分集合上の同型となるような既約な適切な-スキームが存在すると主張します。これを確認するには、 を開浸漬のスキーム論的像として 定義します。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}\to X}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.}$

は各 に対して集合論的にネーターなので、写像は準コンパクトであり、このスキーム論的像を 上でアフィン局所的に計算して、2 つの主張を直ちに証明できます。定理のステートメントのように各 に対して射影-スキームを作成できる場合、を互いに素な和、 を合成 とすることができます。この写像は射影的であり、 の稠密な開集合上の同型ですが、は射影 -スキームの有限和であるため、射影 -スキームです。各 は上で適切であるため、既約なケースへの還元が完了しました。 ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y_{i}'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

次に、が有限個の開部分集合で覆われ、それぞれが上に準射影的であることを示します。これを行うには、準コンパクト性により、まず有限個のアフィン開 で覆い、次に が有限型であり準コンパクトであるため、それぞれが への閉じた浸漬を持つ有限個のアフィン開で 内の各 の逆像を覆います。この開浸漬と を合成すると、それぞれがの開部分スキームの閉じた部分スキームであることがわかります。がネーター的であるため、開部分スキームのすべての閉じた部分スキームは、閉じた部分スキームの開部分スキームでもあり、したがってそれぞれが上に準射影的です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{j}}$${\displaystyle S_{j}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{jk}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}}$${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle X_{ij}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle X_{ij}}$${\displaystyle S}$

ここで、 が準射影的 -スキームによるの有限開被覆であり、 が射影的-スキームに開浸漬していると仮定する。は既約であるため空でない集合である。の射を定義する ための制約${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to P_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}}$

となるため、 となり、 は標準的な注入で、は射影です。を標準的な開いた浸漬を表すとすると、 を定義します。これは浸漬であると主張します。これを確認するには、この射がグラフ射( は分離されているため閉じた浸漬) とそれに続く開いた浸漬として因数分解できることに注目してください。 はネーターであるため、前と同じロジックを適用して、開いた浸漬と閉じた浸漬の順序を入れ替えることができることがわかります。 ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}}$${\displaystyle U\to U_{i}}$${\displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}$${\displaystyle j:U\to X}$${\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P}$${\displaystyle U\to U\times _{S}P}$${\displaystyle P\to S}$${\displaystyle U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$${\displaystyle X\times _{S}P}$

ここで を のスキーム理論的像とし、 をとして 因数分解する。${\displaystyle X'}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P}$

ここで は開いた浸漬であり、 は閉じた浸漬である。および を標準射影 とする。${\displaystyle \psi '}$${\displaystyle h}$${\displaystyle q_{1}:X\times _{S}P\to X}$${\displaystyle q_{2}:X\times _{S}P\to P}$

${\displaystyle f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,}$

${\displaystyle g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.}$

それを証明し、定理の結論を満たします。 ${\displaystyle X'}$${\displaystyle f}$

が射影的であることを示すには、まずそれが真であり、したがって閉じていることに注目します。その像には稠密な開集合 が含まれるため、 は射影的でなければならないことがわかります。 が上の同型を誘導することも簡単にわかります。つまり、と がその像への同型であるという事実を、閉じた浸漬 とそれに続く開いた浸漬 の合成などの因子として組み合わせるだけで済みます。が 上に射影的であることを示すことが残っています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle S}$

これを、 が浸漬である ことを示すことによって行います。次の 4 つの開いたサブスキームのファミリを定義します。${\displaystyle g:X'\to P}$

${\displaystyle V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}}$

${\displaystyle W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P}$

${\displaystyle U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'}$

${\displaystyle U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.}$

被覆、被覆、および がも被覆することを示したいとします。これは、すべての に対してであることを示すことによって行います。位相空間の写像としてが に等しいことを示すだけで十分です。を同じ基礎位相空間を持つその簡約 で置き換えると、2 つの射は両方とも位相空間 の基礎写像の拡張であるため、簡約から分離への補題により、 がで位相的に稠密である限り、それらは等しくなければなりません。したがって、すべての および に対して、主張は証明されています。 ${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{i}'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle U_{i}''}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$${\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$${\displaystyle U_{i}'}$${\displaystyle (U_{i}')_{red}\to P_{i}}$${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$${\displaystyle i}$

結論は、被覆であり、 がすべての に対して浸漬であることを確認することで が浸漬であることを確認できます。このために、射を考慮する ${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle g(X')}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.}$

は分離しているので、グラフ射は閉じた浸漬であり、グラフはの閉じたサブスキームです。がこのグラフを介して因数分解されることが示された場合 (ここで、 が 上の同型であることを観察によって考慮します)、スキーム理論的イメージの構築により、からの写像もこのグラフを介して因数分解される必要があります。への制限はへの同型なので、への制限はへの浸漬となり、主張が証明されます。 を標準注入とします。となる射が存在することを示さなければなりません。ファイバー積の定義により、 であることを証明するか、と を特定することによってであることを証明すれば十分です。しかしと であるため、 の定義から目的の結論が導かれ、は浸漬です。 は適切であるため、からの任意の -射は閉じており、したがって は閉じた浸漬であるため、は射影的です。${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle \Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}}$${\displaystyle T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})}$${\displaystyle X\times _{S}W_{i}}$${\displaystyle U\to X\times _{S}W_{i}}$${\displaystyle U\subset X'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle U_{i}''}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U_{i}''}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}}$${\displaystyle w_{i}:U\subset X'\to W_{i}}$${\displaystyle v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}}$${\displaystyle q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle U\subset X'}$${\displaystyle q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi }$${\displaystyle q_{1}\circ \psi =j}$${\displaystyle q_{2}\circ \psi =\phi }$${\displaystyle \phi :U\to P}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X'\to S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle g:X'\to P}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle \blacksquare }$

チョウの補題の記述では、が既約、既約、または整数である場合、 についても同じことが成り立つと仮定できます。と の両方が既約である場合、 は双有理射です。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle f:X'\to X}$

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。 「幾何学的計算手法: II. 射影クラスの世界的手法の練習」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。８．土井：10.1007/bf02699291。MR  0217084。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157