箸（手遊び）

チョップスティックス（Calculator、または単にスティックスと呼ばれることもある）^[要出典]は、 2人以上のプレイヤーが行う手遊びゲームで、プレイヤーはそれぞれの手から指をいくつか伸ばし、交互に片方の手をもう片方の手に叩きつけて得点を移します。^{[1] [2]チョップスティックスは}組み合わせゲームの一例であり、完璧なプレイをすればどの時点からでも最適な戦略がわかるという意味で解かれます。^[3]

チョップスティックスでは、プレイヤーは両手の指を使ってポイントを数えます。伸ばした指はそれぞれ1ポイントとして数えられます。5ポイント未満の手は「生きている」とみなされ、5ポイント以上になると「ノックアウト」されて「デッド」になります。ゲームの目的は、相手の両方の手をノックアウトすることです。勝者は生きている手を持つ最後のプレイヤーです。^{[2] [3] [4]}

2 人のプレイヤーが行う基本的なゲームでは、各プレイヤーは 2 つのポイント (両手の 1 本の指を伸ばした状態) から開始します。その後、プレイヤーは順番に行動し、各ターンで次のいずれかを実行します。

（１）相手のどちらかの手をタップして「攻撃」し、得点を加算する。

• タップする手のポイント値（伸ばした指の数）が相手のタップされた手に加算され、それに応じて相手は 1 本以上の追加の指を伸ばします。たとえば、1 本の指でタップされた 2 本の指は 3 本の指になります（2 + 1 = 3）。タップする手のポイント値は変わりません。
• 基本的なプレイでは、5 を超える合計があると、タップされたハンドは「ノックアウト」され、ポイントが 0 になります。慣例により、デッド ハンドはプレーヤーの背後に移動され、見えなくなります。^[1]

-または-

（２）両手を軽くたたいてポイントを分配する「スプリット」。

• 新しいポイント配分は、古いものと異なる必要があります。プレーヤーは、ハンド間でポイントを単純に交換することはできません。たとえば、1 と 3 は、3 と 1 ではなく、2 と 2 にする必要があります。標準のプレイでは、生きているハンドがデッド ハンドに分割され、デッド ハンドが再びプレイに復帰することがあります。
• 2 つの生きている手の間での分割はトランスファーと呼ばれることもあり、生きている手と死んだ手の間での分割はディビジョンと呼ばれることもあります。

このゲームの基本構造は単純なため、以下に示すように、ルールのバリエーションが多数あります。たとえば、あるバリエーションでは、手札をノックアウトできるのは合計がちょうど 5 ポイントの場合のみです。5 ポイントを超える場合は、モジュラー演算のように「繰り越し」されます。たとえば、3 ポイント + 3 は 1 ポイントになり、タップされた手札はそのまま残ります。「自殺」バリエーションでは、プレーヤーは自分の手札からすべてのポイントを転送して 0 に減らすことで、自分の手札をノックアウトできます。他のバリエーションや、マルチプレーヤーまたはチーム プレイでは、より複雑な転送および分割の動きが許可されます。

2 人用 Chopsticks ゲームの各ポジションは、各桁が 0 から 4 までの 4 桁の数字でエンコードできます。これは、各手のアクティブな指の数を表します。これは [ABCD] と表記できます。ここで、A と B は順番を待つプレイヤーの手、C と D は順番を待たないプレイヤーの手です。各手のペアは昇順で表記されるため、すべての異なるポジションは 1 つの 4 桁の数字でのみ表されます。たとえば、コード 1023 は許可されていないため、0123 と表記する必要があります。

開始位置は 1111 です。特別な転送が使用されない限り、次の位置は 1211 でなければなりません。次の位置は 1212 または 1312 のいずれかでなければなりません。ゲーム中、最小の位置は 0001 で、最大の位置は 4434 です。

この略語は、より多くのプレイヤーがいるゲームにも適用できます。3 人のプレイヤーがいるゲームは、6 桁の数字 (例: [111211]) で表すことができます。隣接する数字の各ペアは 1 人のプレイヤーを表し、各ペアはプレイヤーが順番にプレイする順番に基づいて並べられます。左端のペアは、順番にプレイするプレイヤーの手を表します。真ん中のペアは、次にプレイするプレイヤーを表します。右端のペアは、順番が来るまで最も長く待たなければならないプレイヤーを表します (通常、プレイしたばかりであるため)。

通常のルールでは、最大 14 の移動が可能です。

• 4回の攻撃（A→C、A→D、B→C、B→D）
• 4つの部門（02→11、03→12、04→13、04→22）
• 6回の乗り換え（13→22、22→13、14→23、23→14、24→33、33→24）

ただし、特定のターンで使用できるのは 5 つ以下だけです。たとえば、初期位置 1312 は、2213、1313、2413、0113、または 1222 になることがあります。

最短のゲームは 5 手です。例が 1 つあります。

• 1111 1211 1312 0113 1401 0014

再訪問（ポジションの繰り返し）がない場合、最長のゲームは 9 手です。次の 2 つの例があります。

• 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
• 1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004

再訪問により、ゲームの最長時間は無期限になります。

ロールオーバーの金額が 5 なので、Chopsticks は5 進法のゲームです。2 人プレイのゲームでは、各ポジションは 4 桁です。0000 から 4444 (5 進法) まで数えると、625 のポジションになります。ただし、これには冗長性が含まれます。これらのポジションのほとんどは誤った表記です (例: 0132、1023、1032 は 0123 の誤った表記です)。これらは異なって見えますが、ゲームプレイでは機能的には同じです。

機能的に異なるポジションの数を調べるには、各プレーヤーが 15 の異なるペア (00、01、02、03、04、11、12、13、14、22、23、24、33、34、44) のいずれかになる可能性があることに留意してください。プレーヤーが 2 人の場合、機能的に異なるポジションは 15*15 = 225 あります。一般に、プレーヤーには機能的に異なるポジションがあります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 15^{n}}$

ただし、到達できない位置は 21 個あります: 0000、0100、0200、0300、0400、1100、1101、1200、1300、1400、2200、2202、2300、2400、3300、3303、3400、3444、4400、4404、4444。

• これらのポジションのうち 15 は、1 人のプレーヤーが 15 の異なるペアをそれぞれ持っており、他のプレーヤーが死んでいるという単純なものです。問題は、死んでいるプレーヤーがちょうど自分のターンを終えたプレーヤーであることです (右側に「00」があるのはそのためです)。プレーヤーは自分のターンで負けることはないため、これらのポジションには到達できません。
• これらの位置のうち4つは、移動するプレイヤーが[kk]を持ち、もう1人のプレイヤーが[0k]を持ち、 です。これは到達不可能です。なぜなら、[0k]に行ったプレイヤーは分割できないため、そのプレイヤーは[0k]を使用して攻撃したに違いないからです。しかし、[0k]を使用して敵を攻撃し、敵が[kk]に移動する方法はありません。そのためにはデッドハンドを攻撃する必要があり、これは違法です。${\displaystyle 0<k<5}$
• 残りの 2 つの位置は 3444 と 4444 です。4444 は到達不可能です。なぜなら、プレイヤーはスプリットから [44] に到達できないため、すでに [44] を持っている必要があるからです。[44] で攻撃された後に [44] に到達できる唯一のペアは [04] ですが、これもデッド ハンドを攻撃する必要があります。3444 は実際には到達可能ですが、4444 からのみ到達可能です。4444 は 4444 から到達できないため、3444 も到達できません。

これにより、合計 204 個の一意の到達可能な位置が得られます。

到達可能な終盤は 14 種類あります: 0001、0002、0003、0004、0011、0012、0013、0014、0022、0023、0024、0033、0034、0044。 嬉しいことに、これらはすべて 14 種類の可能な終盤です。つまり、14 種類の異なるライブ ペアのいずれかを使用して勝つことができます。 これらの 14 種類の終盤のうち、ゲームが最小の移動数で終了すると仮定すると、最初のプレーヤーが 8 種類で勝ちます。

箸は 型ゲームに一般化できます。ここで はプレイヤーの数、 はロールオーバー額です。^{[さらなる説明が必要]}${\displaystyle (p,r)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$

プレイヤーが 1 人のゲームでは、そのプレイヤーはゲームの最後のプレイヤーであるため、当然勝利します。プレイヤーが 0 人のゲームも同様に、勝者がいないため、当然勝利となります。

とロールオーバーが与えられた場合、 ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle r}$

• 人員削減を含めたポジションがあります。${\displaystyle r^{2p}=r^{4}}$
• 異なる指のペア（- 番目の三角数）があり、したがって機能的に異なる位置があります。${\displaystyle {r+1 \choose 2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {r+1 \choose 2}^{p}}$
• の場合、到達不可能な位置が存在します。 ${\displaystyle r>2}$${\displaystyle {r+1 \choose 2}+(r-1)+2}$
  • ${\displaystyle {r+1 \choose 2}}$到達不可能なポジションは、現在のプレイヤーが明確なペアを持っていて、他のプレイヤーが死んでいるときに発生します。ただし、死んでいるプレイヤーとは、ちょうど自分のターンを終えたプレイヤーです。プレイヤーは自分のターンで負けることはないので、これらのポジションは到達不可能です。
  • ${\displaystyle (r-1)}$到達不能なポジションは、現在のプレイヤーが を持ち、他のプレイヤーがと を持っている場合に発生します。これらのポジションは、他のプレイヤー [CD] が前のターンでスプリットしておらず、生きている手札を使用して攻撃したため、到達不能です。ただし、ターゲットが両方の手札に価値 を持つように攻撃する方法はありません。これは、デッドハンドを攻撃する必要があり、違法だからです。${\displaystyle A=B=k}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle D=k}$${\displaystyle 0<k<r}$${\displaystyle k}$
  • 到達不可能なポジションは、両方のプレイヤーが 2 つのハンドに価値がある場合に発生します。そのため、前のプレイヤーはスプリットできなかったため、アタックする必要がありました。しかし、対戦相手のハンドが両方とも の価値を持つようにするには、デッド ハンドをアタックする必要があり、これは違法です。${\displaystyle r-1}$${\displaystyle r-1}$
  • 到達不可能な位置は、現在のプレイヤーがおよびを持ち、他のプレイヤーが を持っている場合に発生します。この位置は、開始位置から到達できない以前の位置が 1 つだけあります。${\displaystyle A=r-2}$${\displaystyle B=r-1}$${\displaystyle C=D=r-1}$

したがって、 の場合、到達可能な位置が存在します。 ${\displaystyle r>2}$${\displaystyle {r+1 \choose 2}^{p}-\left({r+1 \choose 2}+(r-1)+2\right)}$

ロールオーバーが5の場合、

• プレイヤーが 2 人の場合、ポジションは 204 個あります。
• プレイヤーが 3 人の場合、ポジションは 3,337 個あります。
• プレイヤーが 4 人いる場合、ポジションは 25,000 以上あります。

ロールオーバー額が 1 のゲームは、すべてのハンドがデッドで始まるため、簡単なゲームです。

ロールオーバー額が 2 のゲームは退化です。分割が不可能で、ロールオーバーとカットオフのバリエーションが同じゲームになるからです。ハンドは生きているか死んでいるかのどちらかで、中間の状態はなく、ハンドを攻撃するとハンドが死にます。実際、プレイヤーが持っている「ハンド」の数を (指または他の数える方法を使用して) 数えるだけで、プレイヤーが対戦相手を攻撃すると、対戦相手のハンドの数が 1 つ減ります。ゲームには到達可能なポジションが合計で、ゲームの長さはです。2 人のプレイヤーのゲームは、1 人目の勝利として強く解決されます。 ${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2p-1}$

2 人のプレーヤーが 1 つの手しか持っていない場合、分割は発生せず、各プレーヤーは 1 回の移動しかできないため、ゲームは退化します。 のロールオーバーが与えられた場合、ゲームでの移動後の各ポジションは、タプル で表すことができます。ここで、 は、およびとなる-番目のフィボナッチ数です。ポジションの数は、 を割り切れる最小の正の数 で与えられます。このバリアントは、 とフィボナッチ数の割り切れる性質に応じて、どちらかの側が勝つと強く解かれます。ゲームの長さは です。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \left(F_{k+2}{\bmod {r}},F_{k+1}{\bmod {r}}\right)}$${\displaystyle F_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{0}=0}$${\displaystyle F_{1}=1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F_{k+2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle k+1}$

• ミゼール：両手を先に殺されたプレイヤーが勝ちます。
• 自殺: プレイヤーはスプリットで自分のハンドの 1 つを殺すことができます。たとえば、ポジション 1201 では、プレイヤーは 12→03 を実行して、ゲームを 0103 にすることができます。対戦相手は B→D をプレイすることを余儀なくされ、ゲームを 0401 に持ち込むことになり、この時点で最初のプレイヤーがすぐに勝つことができます。
• スワップ/チェリー: プレイヤーが 2 つの不均等なライブ ハンドを持っている場合、それらを交換できます (ただし、ターンは放棄されます)。このバリエーションは、明らかな理由により、繰り返しまたは無限ループによって引き分けになることがよくあります。これを回避するには、攻撃を強制される前に攻撃されずにプレイヤーが実行できる連続スワップの数に制限を設けることができます。
• サドンデス: プレイヤーは両手の指が 1 本だけになると負けになります。あるいは、各プレイヤーは 3 つのライフで開始し、[01] になるたびにライフを 1 つ失うこともできます。
• メタ: プレイヤーの手札の合計が5を超える場合、それらを組み合わせて合計から5を引いて、残りを分割することができます。たとえば、[44]は合計8になり、5を引くと3になり、これを[12]に分割できます。したがって、[44]から[12]に1回の移動で移動できます。メタは2つの新しい可能な動きをアンロックします（34→11、44→12）。メタとスーサイドの両方をプレイする場合、さらに4つの動きがアンロックされ（24→01、33→01、34→02、44→03）、最大で合計20の動きが可能になります。
• ローガン条項: プレイヤーは自殺と交換が許可されていますが、両方を同時に行う場合に限られます (つまり、デッド ハンドをライブ ハンドと交換する)。
• デス アタック:プレイヤーはデッド ハンドを攻撃できます。デッド ハンドを攻撃する場合、攻撃される前にデッド ハンドは 0 として扱われます。
• カットオフまたはゲーム・オブ・ファイブ：手札が5本以上の指になった場合、その手はデッドとなります（公式ルールに記載されているロールオーバーとは対照的です）。 ^[3]
• ゾンビ: 3 人以上のプレイヤーがいる場合、プレイヤーがノックアウトされると、片方の手の指が 1 本だけになります。自分のターンでは攻撃できますが、分裂したり攻撃されたりすることはできません (Chris Bandy が考案)。
• 譲渡のみ: 分割は許可されません。許可される分割は譲渡のみです。
• 部門のみ: 譲渡は許可されません。許可されるのは部門の分割のみです。
• スプリット：スプリットは、偶数を2等分する、またはオプションで奇数を可能な限り均等に分割する（整数を使用）場合にのみ許可されます。このバリエーションでは、2番目のプレーヤーが勝利戦略を持っています（常に勝利を強制できます）。^[3]
• スタンプ/ナブ：プレーヤーが[01]にいる場合、指を半分曲げて表す[0.5 0.5]にスプリットすることは合法です。^[3]
• より多くのハンド: 各プレイヤーは「2 つ以上のハンド」を持ちます。これは通常、複数人でチームを組んでプレイすることで表されます。プレイヤーあたりのハンドが増えると、次のようなさまざまな転送、分割、スワップ、および自殺のルールが可能になります。
  • シングルトランスファー: 各プレーヤーは 2 つの手の間でのみ指を転送できます。
  • 複数の転送: 各プレーヤーは、結果の状態が元の状態と異なる限り、2 つ以上の手の間で指を転送できます。
  • シングル ディビジョン: プレーヤーは、片方の手から片方のデッド ハンドにのみ指を移動できます。
  • パーティション: プレーヤーは、片方の手から複数のデッド ハンドに指を転送できます。
  • 転送と分割: プレイヤーは複数の手から指を転送して、死んだ手を復活させることができます。
• 異なる数字: 手は正の数(標準的なチョップスティックでは、 ) に達すると死にます。5 より大きい数には、中国の手数、 6 進法の指数え、指の 2 進法など、異なる手数えシステムを使用できます。このバリエーションには、ロールオーバーが含まれることがよくあります。${\displaystyle r}$${\displaystyle r=5}$
• サンズ: 両方のプレイヤーは、それぞれの手札に 4 (4444) を持ってスタートします。これは、通常のゲームプレイでは到達できない位置です (つまり、オープニング位置 1111 からは到達できません)。
• 整数: 自分の手札の 1 つを裏返し、+/- の符号を変更することで、手札を交換することができます。これにより、負の値やゼロの値の手札が可能になりますが、手札は 5 または -5 で終了します。ロールオーバーを使用すると、このアクションは、手札の値を 5 から引いた値に置き換えることと同じになります。
• 名前なし: 自分の手を攻撃することが許可され、2 つの追加の動き (A→B、B→A) が追加されます。通常は、スワップおよびカットオフのバリエーションと組み合わせてプレイされます。
• チェリーボム：ちょうど5に移すと、攻撃側の手札は[11]、ターゲット側の手札は[01]になります。2人プレイでは1101となり、簡単に強制勝ちとなるので、2人以上でプレイするのがおすすめです。
• 自己追加: プレイヤーは自分の番になると、生きている手に 1 本の指を追加したり、死んだ手に複数の指を移したりできます。これにより、自己破壊 (4 本の指を持つ生きている手に 1 本を追加) と復活が可能になります。このゲームのバリエーションには、より複雑な戦略があります。

上記のルールを使用すると、2 人の完璧なプレイヤーが無限にプレイし、ゲームはループで継続されます。実際、経験の浅いプレイヤーでも、1 手先を見るだけで負けを回避できます。

カットオフのバリエーションでは、最初のプレイヤーが勝利を強制できます。勝利戦略の 1 つは、各移動後に常に次の構成のいずれかに到達することです (最初のものを優先的に選択します)。

• 1211 (ここから始まる)
• AB12、AとBは任意の数の指になります（可能であればすぐに勝ちます）

逆に、分割と自殺のみのバリエーションでは、2番目のプレイヤーが勝利戦略を持っています。^{[5] [どうやって？ ]}

• モラ (ゲーム) – 論理ではなく偶然に基づいた、異なる手遊びゲーム。

• 無敵の Chopsticks AI ボット。このボットはロールオーバーと転送を使用してゲームをプレイします。