確率分布の特性評価

数学全般において、特性定理とは、特定の対象（関数、空間など）が、その定理で規定された性質を持つ唯一の対象であることを述べる定理である。したがって、確率分布の特性定理は、それが規定された条件を満たす唯一の確率分布であることを述べる。より正確には、確率分布の特性定理のモデルは、VM Zolotarev ^{[ 1 ]}によって次のように記述された。確率空間上で、空間を定義する。${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{X\}}$測定可能な距離空間に値を持つ確率変数${\displaystyle (U,d_{u})}$そしてその空間${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\{Y\}}$測定可能な距離空間に値を持つ確率変数${\displaystyle (V,d_{v})}$確率分布の特徴付けによって、ある集合の記述に関する一般的な問題を理解する。$\displaystyle {\mathcal {C}}}$宇宙空間で${\displaystyle {\mathcal {X}}}$セットを抽出することによって${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}}$確率変数の特性を記述する${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$そして彼らの画像${\displaystyle Y=\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}}$特別に選択されたマッピングによって得られた${\displaystyle \mathbf {F}$ :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}} 。 確率変数の特性の説明${\displaystyle X}$そして彼らのイメージ${\displaystyle Y=\mathbf {F} X}$セットの表示と同等${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}}$そこから ${\displaystyle X}$ 必ず取得し、セットの${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}}$その像は必ずその中に収まる。したがって、我々が関心を持つ集合は、次のような形で現れる。

${\displaystyle X\in {\mathcal {A}},\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}\Leftrightarrow X\in {\mathcal {C}}、すなわち{\mathcal {C}}=\mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}},}$

どこ$\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}}}$の完全な逆像を表す$\displaystyle {\mathcal {B}}}$で${\displaystyle {\mathcal {A}}}$これは確率分布の特性を表す一般的なモデルです。特性を表す定理の例をいくつか挙げます。

• 2 つの線形（または非線形）統計量が同一の分布に従う（または独立である、または一定の回帰関係を持つなど）という仮定は、さまざまな母集団を特徴付けるために使用できます。^{[ 2 ]}例えば、ジョージ・ポリア^{[ 3 ]}の特徴付け定理によれば、${\displaystyle X_{1}}$そして${\displaystyle X_{2}}$が有限分散を持つ独立同分布の確率変数である場合、統計量は${\displaystyle S_{1}=X_{1}}$そして${\displaystyle S_{2}={\cfrac {X_{1}+X_{2}}{\sqrt {2}}}}$が同一分布であるのは、${\displaystyle X_{1}}$そして${\displaystyle X_{2}}$平均がゼロの正規分布に従う。この場合

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&0\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は、独立同分布の成分を持つランダムな2次元列ベクトルの集合です。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、成分が同一に分布したランダムな2次元列ベクトルの集合であり、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$これは、独立同分布の正規成分を持つ2次元列ベクトルの集合です。

• 一般化されたジョージ・ポリアの特性定理（分散の有限性に関する条件なし^{[ 2 ]}）によれば、${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$非退化独立同分布確率変数、統計${\displaystyle X_{1}}$そして${\displaystyle a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\dots +a_{n}X_{n}}$同一分布であり、${\displaystyle \left|a_{j}\right\vert <1,a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{n}^{2}=1}$、 それから${\displaystyle X_{j}}$は任意の正規確率変数である${\displaystyle j,j=1,2,\dots ,n}$。 この場合

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}}$、

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は、独立同分布の成分を持つランダムなn次元列ベクトル の集合です。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、成分が同一に分布したランダムな2次元列ベクトルの集合であり、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は、独立同分布の正規成分を持つn次元列ベクトルの集合である。 ^{[ 4 ]}

• 半直線上のすべての確率分布${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$記憶を持たないものは指数分布である。「記憶を持たない」とは、${\displaystyle X}$はそのような分布を持つ確率変数であり、任意の数値に対して${\displaystyle 0<y<x}$、

${\displaystyle \Pr(X>x\mid X>y)=\Pr(X>xy)}$。

特性定理の条件を実際に検証することは、多少の誤差を伴ってのみ可能である。${\displaystyle \epsilon }$つまり、ある程度の精度でしか成り立たない。^{[ 5 ]}例えば、有限サイズのサンプルを考慮する場合、このような状況が見られる。そのため、次のような自然な疑問が生じる。特性定理の条件が厳密には満たされず、近似的にしか満たされないと仮定する。定理の結論も近似的に満たされると主張できるだろうか。このような問題が考慮される定理は、確率分布の安定性特性と呼ばれる。

• 特性化（数学）