多項式行列

数学において、多項式行列または多項式行列とは、要素が単変数または多変数の多項式である行列のことである。言い換えれば、多項式行列とは、係数が行列である多項式のことである。

単変数多項式行列${\displaystyle A}$学位${\displaystyle n}$ は次のように定義されます。^{[ 1 ]}$${\displaystyle A(x)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\cdots +A_{n}x^{n},}$$ どこ${\displaystyle A_{i}}$は定数係数の行列を表し、${\displaystyle A_{n}}$はゼロではありません。例として、次数2の3×3多項式行列を示します。 $${\displaystyle A(x)={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.}$$ これは、環Rに対して、環が${\displaystyle M_{n}(R[X])}$そして ${\displaystyle (M_{n}(R))[X]}$同型である。

• 体上の多項式行列のうち、行列式がその体の非零元に等しいものをユニモジュラー行列といい、その逆行列もまた多項式行列である。スカラーユニモジュラー多項式は、次数が0（非零定数）の多項式のみであることに注意されたい。なぜなら、次数が0を超える任意の多項式の逆行列は有理関数だからである。
• 複素数上の多項式行列の根とは、行列のランクが低下する複素平面上の点のことである。

多項式行列は、各行と各列にちょうど1つの非ゼロ要素を持つ行列である単項式行列と混同しないように注意してください。

λ を、行列を構成する体の任意の要素、 Iを単位行列とし、A を多項式行列とすると、行列 λ I − Aは行列Aの特性行列です。その行列式 |λ I − A | は、行列Aの特性多項式です。