カッシーニとカタルーニャのアイデンティティ

カッシーニの恒等式（シムソンの恒等式とも呼ばれる）、カタランの恒等式、ヴァイダの恒等式は、フィボナッチ数列の数学的恒等式です。カッシーニの恒等式は、他の2つの恒等式の特殊な場合であり、n番目のフィボナッチ数列に対して、

${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.}$

ここにメモを記入${\displaystyle F_{0}}$は0とみなされ、${\displaystyle F_{1}}$は1とみなされる。

カタルーニャ人のアイデンティティはこれを一般化して${\displaystyle r\neq 1}$:

${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.}$

ヴァイダのアイデンティティはこれをさらに一般化して${\displaystyle m\neq n}$:

${\displaystyle F_{m}F_{n}-F_{mr}F_{n+r}=\left({-1}\right)^{mr}F_{r}F_{r+nm},}$

別表記:

${\displaystyle F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.}$

カッシーニの公式は、1680年に当時パリ天文台の所長であったジョヴァンニ・ドメニコ・カッシーニによって発見され、ロバート・シムソンによって独立に証明された（1753年）。^{[ 1 ]}しかし、ヨハネス・ケプラーはおそらく1608年には既にその正則を知っていたと思われる。^{[ 2 ]}

カタランのアイデンティティは、ウジェーヌ・カタラン（1814～1894）にちなんで名付けられました。これは、彼の個人的な研究ノートの一つである「Sur la série de Lamé」というタイトルの1879年10月付けの文書に見られます。しかし、このアイデンティティが印刷物として登場したのは、彼の全集（Catalan 1886 ）の一部として1886年12月になってからです。このため、カタランのアイデンティティの日付として1879年とする説と1886年とする説があるのです（Tuenter 2022 、p. 314）。 

ハンガリー系イギリス人の数学者スティーブン・ヴァイダ（1901～1995）は、フィボナッチ数に関する著書（『フィボナッチ数とルーカス数、そして黄金比：理論と応用』、1989年）を出版し、その中に彼の名を冠した恒等式を掲載した。^{[ 3 ] [ 4 ]}しかし、この恒等式は、1960年にダスタン・エヴァーマンによって『アメリカ数学月報』の1396番の問題として^{[ 1 ]}、また1901年にはアルベルト・タジウリによって『ペリオディコ・ディ・マテマティカ』で発表されていた。^{[ 5 ]}

ビネの公式を使用します。${\displaystyle F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$、 どこ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$そして${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$。

したがって、${\displaystyle \phi +\psi =1}$そして${\displaystyle \phi \psi =-1}$。

それで、

${\displaystyle 5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})}$

${\displaystyle =(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})}$

${\displaystyle =(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})}$

${\displaystyle =-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}$

使用${\displaystyle \phi \psi =-1}$、

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}$

そしてまた${\displaystyle \phi ={\frac {-1}{\psi }}}$、

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})}$

ルーカス数${\displaystyle L_{n}}$は次のように定義される。${\displaystyle L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}}$、 それで

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}}$

なぜなら${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

${\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

${\displaystyle =(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}$

キャンセル${\displaystyle 5}$'s は結果を返します。

• カタルーニャ語、ウジェーヌ・シャルル（1886年12月）。 「CLXXXIX. — Sur la série de Lamé」。リエージュ王立科学協会の思い出。ドゥーズィエム・シリーズ。13 : 319–321 .
• クヌース、ドナルド・アーヴィン（1997）、『コンピュータプログラミングの技法、第1巻：基本アルゴリズム』、コンピュータプログラミングの技法、第 1巻（第3 版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー、ISBN 0-201-89683-4
• シムソン、R. (1753). 「アルバート・ジラールのサイモン・ステヴィンの著作に関する注釈における難解な一節の解説」 .ロンドン王立協会の哲学的紀要. 48 : 368– 376. doi : 10.1098/rstl.1753.0056 .
• Tuenter, Hans JH (2022年11月). 「カタランの恒等式から生じるフィボナッチ総和恒等式」. The Fibonacci Quarterly . 60 ( 4): 312–319 . doi : 10.1080/00150517.2022.12427460 . MR 4539699. Zbl 1512.11025 .  
• Werman, M.; Zeilberger, D. (1986). "カッシーニのフィボナッチ恒等式の全単射証明" . Discrete Mathematics . 58 (1): 109. doi : 10.1016/0012-365X(86)90194-9 . MR 0820846 . 

• カッシーニの身元を証明する証拠
• カタルーニャ人の身分証明
• カタルーニャ人のアイデンティティ
• フィボナッチ数列のカッシーニの公式
• フィボナッチ数列と黄金比の公式