フィボナッチ数列の数学的恒等式
カシニの恒等式 （ シムソンの恒等式 とも呼ばれる）と カタランの恒等式は、 フィボナッチ 数列の 数学的恒等式 である 。 カタランの恒等式 の特殊なケースである カシニの恒等式は、 n 番目のフィボナッチ数列に対して 、
ふ
ん − 1
ふ
ん + 1
−
ふ
ん
2
= （ − 1
）
ん
。
{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.}
ここで は 0 とみなされ、 は 1 とみなされることに注意してください。
ふ
0
{\displaystyle F_{0}}
ふ
1
{\displaystyle F_{1}}
カタロニア語のアイデンティティはこれを一般化します:
ふ
ん
2
−
ふ
ん − r
ふ
ん + r
= （ − 1
）
ん − r
ふ
r
2
。
{\displaystyle F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.}
ヴァイダのアイデンティティはこれを一般化します:
ふ
ん + 私
ふ
ん + じゅう
−
ふ
ん
ふ
ん + 私 + じゅう
= （ − 1
）
ん
ふ
私
ふ
じゅう
。
{\displaystyle F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.}
歴史 カッシーニの公式は、1680年に当時パリ天文台長であったジョヴァンニ・ドメニコ・カッシーニ によって発見され 、 ロバート・シムソン （1753年）によって独立に証明されました。 [1] しかし、 ヨハネス・ケプラーは 1608年にすでにその正体を知っていたと思われます。 [2]
カタランのアイデンティティは、 ウジェーヌ・カタラン (1814-1894) にちなんで名付けられました。これは、1879 年 10 月の日付が付けられた「Sur la série de Lamé」と題された彼の個人的な研究ノートの 1 つに記載されています。しかし、このアイデンティティは、1886 年 12 月に彼の全集 (Catalan 1886) の一部として初めて印刷されました。これが、カタランのアイデンティティの日付を 1879 年とする人もいれば、1886 年とする人もいる理由です (Toenter 2022、p. 314)。
ハンガリー系イギリス人の数学者 スティーブン・ヴァイダ （1901–95）は、フィボナッチ数に関する本（ Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications 、1989年）を出版しており、その中に彼の名前を冠した恒等式が含まれている。 [3] [4] しかし、この恒等式は、1960年にダスタン・エヴァーマンによって アメリカ数学月刊誌 の問題1396として [1] 、1901年にアルベルト・タギウリによってPeriodico di Matematicaで発表されていた。 [5]
カッシーニの正体の証明
行列理論による証明 カシニの等式の簡単な証明は、方程式の左辺が フィボナッチ数の2×2 行列 の行列式で あること を認識することで与えられます (Knuth 1997、p. 81) 。行列が 行列式 -1 を持つ行列の
n 乗であることがわかれば、結果はほぼ即座に得られます。
ふ
ん − 1
ふ
ん + 1
−
ふ
ん
2
= 詳細
[
ふ
ん + 1
ふ
ん
ふ
ん
ふ
ん − 1
]
= 詳細
[
1
1
1
0
]
ん
=
（
詳細
[
1
1
1
0
]
）
ん
= （ − 1
）
ん
。
{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.}
帰納法による証明 次の誘導文を考えてみましょう:
F
n
−
1
F
n
+
1
−
F
n
2
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}
基本ケースは 真です。
n
=
1
{\displaystyle n=1}
ステートメントが に対して真であると仮定します 。すると、次のようになります。
n
{\displaystyle n}
F
n
−
1
F
n
+
1
−
F
n
2
+
F
n
F
n
+
1
−
F
n
F
n
+
1
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}
F
n
−
1
F
n
+
1
+
F
n
F
n
+
1
−
F
n
2
−
F
n
F
n
+
1
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}}
F
n
+
1
(
F
n
−
1
+
F
n
)
−
F
n
(
F
n
+
F
n
+
1
)
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}}
F
n
+
1
2
−
F
n
F
n
+
2
=
(
−
1
)
n
{\displaystyle F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}}
F
n
F
n
+
2
−
F
n
+
1
2
=
(
−
1
)
n
+
1
{\displaystyle F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}}
したがって、この文はすべての整数に対して真となります 。
n
>
0
{\displaystyle n>0}
カタルーニャ人であることの証明 ビネの公式 を使用します 。これは であり 、 です 。
F
n
=
ϕ
n
−
ψ
n
5
{\displaystyle F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}
ϕ
=
1
+
5
2
{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
ψ
=
1
−
5
2
{\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}
したがって、 そして 。
ϕ
+
ψ
=
1
{\displaystyle \phi +\psi =1}
ϕ
ψ
=
−
1
{\displaystyle \phi \psi =-1}
それで、
5
(
F
n
2
−
F
n
−
r
F
n
+
r
)
{\displaystyle 5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})}
=
(
ϕ
n
−
ψ
n
)
2
−
(
ϕ
n
−
r
−
ψ
n
−
r
)
(
ϕ
n
+
r
−
ψ
n
+
r
)
{\displaystyle =(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})}
=
(
ϕ
2
n
−
2
ϕ
n
ψ
n
+
ψ
2
n
)
−
(
ϕ
2
n
−
ϕ
n
ψ
n
(
ϕ
−
r
ψ
r
+
ϕ
r
ψ
−
r
)
+
ψ
2
n
)
{\displaystyle =(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})}
=
−
2
ϕ
n
ψ
n
+
ϕ
n
ψ
n
(
ϕ
−
r
ψ
r
+
ϕ
r
ψ
−
r
)
{\displaystyle =-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}
を使用すると 、
ϕ
ψ
=
−
1
{\displaystyle \phi \psi =-1}
=
−
(
−
1
)
n
2
+
(
−
1
)
n
(
ϕ
−
r
ψ
r
+
ϕ
r
ψ
−
r
)
{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})}
そしてまた 、
ϕ
=
−
1
ψ
{\displaystyle \phi ={\frac {-1}{\psi }}}
=
−
(
−
1
)
n
2
+
(
−
1
)
n
−
r
(
ψ
2
r
+
ϕ
2
r
)
{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})}
ルーカス数は と 定義される ので、
L
n
{\displaystyle L_{n}}
L
n
=
ϕ
n
+
ψ
n
{\displaystyle L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}}
=
−
(
−
1
)
n
2
+
(
−
1
)
n
−
r
L
2
r
{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}}
なぜなら
L
2
n
=
5
F
n
2
+
2
(
−
1
)
n
{\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}}
=
−
(
−
1
)
n
2
+
(
−
1
)
n
−
r
(
5
F
r
2
+
2
(
−
1
)
r
)
{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})}
=
−
(
−
1
)
n
2
+
(
−
1
)
n
−
r
2
(
−
1
)
r
+
(
−
1
)
n
−
r
5
F
r
2
{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}
=
−
(
−
1
)
n
2
+
(
−
1
)
n
2
+
(
−
1
)
n
−
r
5
F
r
2
{\displaystyle =-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}
=
(
−
1
)
n
−
r
5
F
r
2
{\displaystyle =(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}}
をキャンセルすると、 結果が得られます。
5
{\displaystyle 5}
注記
^ ab Thomas Koshy: フィボナッチ数とルーカス数とその応用 Wiley、2001年、 ISBN 9781118031315 、pp. 74-75、83、88 ^ ミオドラグ・ペトコビッチ『 偉大な数学者の有名なパズル 』AMS、2009年、 ISBN 9780821848142、30-31 ページ ^ ダグラス・B・ウェスト『 組合せ数学 』ケンブリッジ大学出版局、2020年、61頁 ^ Steven Vadja: フィボナッチ数列とルーカス数列、黄金分割: 理論と応用 。Dover、2008年、 ISBN 978-0486462769 、p. 28 (初版は1989年Ellis Horwoodで出版) ^ Alberto Tagiuri: 方程式 (3)、『Di alcune successi a termini interi e positivi』、Periodico di Matematica 16 (1901)、1-12 ページ。
参考文献
外部リンク カッシーニの正体の証明 カタルーニャ人のアイデンティティの証明 フィボナッチ数列のカシニ公式 フィボナッチ数式とファイ数式 
![{\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33c58ed530977ce60f18c7a87e3aa18c0c35bd4)
