ケーシーの定理

数学において、ケーシーの定理は一般化プトレマイオスの定理としても知られ、アイルランドの数学者ジョン・ケーシーにちなんで名付けられたユークリッド幾何学の定理です。

を半径 の円とします。 を（この順序で）その内側にあり、その円に接する4つの交わらない円とします。を円の外部共通接線の長さで表します。すると、次のようになります。^[1]${\displaystyle \,O}$${\displaystyle \,R}$${\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$${\displaystyle \,O}$${\displaystyle \,t_{ij}}$${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$

${\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$

4 つの円すべてが点になる退化したケースでは、これはまさにプトレマイオスの定理であることに注意してください。

以下の証明はザカリアス^[2]によるものです。^[3]円の半径を、円との接点をと表します。円の中心を表す記号を とします。ピタゴラスの定理より、 ${\displaystyle \,O_{i}}$${\displaystyle \,R_{i}}$${\displaystyle \,O}$${\displaystyle \,K_{i}}$${\displaystyle \,O,O_{i}}$

${\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.}$

この長さを点の数で表してみます。三角形の余弦定理により、 ${\displaystyle \,K_{i},K_{j}}$${\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2 }-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}$

円は互いに接しているので、 ${\displaystyle \,O,O_{i}}$

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}$

を円上の点とします。三角形の正弦定理によれば、 ${\displaystyle \,C}$${\displaystyle \,O}$${\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}$

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

したがって、

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

これらを上記の式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

そして最終的に私たちが求める長さは

${\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}$

内接四辺形 に適用された元のプトレマイオスの定理を利用して、左辺を評価できるようになりました。 ${\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}}$

4つの円は必ずしも大きな円の内側にある必要はないことがわかります。実際、外側から接している場合もあります。その場合は、次の変更を行う必要があります。^[4]

両方が同じ側（両方とも内側または両方とも外側）から接している場合、は外部共通接線の長さです。 ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$${\displaystyle \,O}$${\displaystyle \,t_{ij}}$

異なる側（一方が内側、もう一方が外側）から接している場合、内部共通接線の長さになります。 ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$${\displaystyle \,O}$${\displaystyle \,t_{ij}}$

ケーシーの定理の逆も真である。^[4]つまり、等式が成り立つ場合、円は共通の円に接している。

ケーシーの定理とその逆定理は、ユークリッド幾何学におけるさまざまな命題を証明するために使用できます。たとえば、フォイエルバッハの定理の最も短い証明^{[1] :411は、}逆定理を使用しています。

ウィキメディア・コモンズには、ケーシーの定理に関連するメディアがあります。

• Weisstein, Eric W.「Casey の定理」。MathWorld。
• シャイレシュ・シラリ：「『一般化されたプトレマイオスの定理について』」。掲載: Crux Mathematicorum、Vol. 22、No.2、49-53ページ