カールソンの定理

数学、特に複素解析の分野において、カールソンの定理はフリッツ・デイヴィッド・カールソンによって発見された一意性定理である。簡単に言えば、無限大で急激に増加しない2つの異なる解析関数は、整数で一致しないということである。この定理は、最大値定理の拡張であるフラグメン・リンデレーフの定理から導き出すことができる。

カールソンの定理は、ニュートン級数展開の一意性を擁護するためによく用いられる。カールソンの定理には、他の展開についても一般化された類似の定理が存在する。

f が以下の 3 つの条件を満たすと仮定します。最初の 2 つの条件はfの無限大における増大を制限するものであり、3 番目の条件はf が非負整数上でゼロになることを示しています。

1. f ( z )は指数型の整関数であり、$${\displaystyle |f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C} }$$実数値C、τに対して。
2. c < πが存在して、$${\displaystyle |f(iy)|\leq Ce^{c|y|},\quad y\in \mathbb {R} }$$
3. すべての非負整数nに対してf ( n ) = 0。

するとfは恒等的にゼロとなる。

f ( z )がすべての前方差分が有限である関数であると仮定します。$\displaystyle \Delta ^{n}f(0)$では、ニュートン級数を考えてみよう。$${\displaystyle g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z \choose n}\,\Delta ^{n}f(0)}$$どこ${\textstyle {z \choose n}}$は二項係数であり、$\displaystyle \Delta ^{n}f(0)$はn次前方差分です。構成上、すべての非負整数kに対してf ( k ) = g ( k )となるため、差分h ( k ) = f ( k ) − g ( k ) = 0 となります。これはカールソンの定理の条件の 1 つです。hが他の条件を満たす場合、hは恒等的にゼロとなり、 fの有限差分によってそのニュートン級数が一意に決定されます。つまり、fのニュートン級数が存在し、差分がカールソンの条件を満たす場合、fは一意です。

• ニュートンシリーズ
• マーラーの定理
• ニュートン級数表

• F. Carlson、Sur une classe deséries de Taylor、(1914) 論文、ウプサラ、スウェーデン、1914 年。
• リース、M. (1920)。 「フラグメン＝リンデロフの王」。ケンブリッジ哲学協会の議事録。20：205～ 107、cor 21 (1921) p.  6。
• Hardy, GH (1920). 「F. Carlson と S. Wigert の 2 つの定理について」 Acta Mathematica 42 : 327– 339. doi : 10.1007 /bf02404414 .
• E.C. ティッチマーシュ著『関数論』（第2版）（1939年）オックスフォード大学出版局（5.81節参照）
• R.P. ボアズ・ジュニア、『全機能』（1954年）、アカデミック・プレス、ニューヨーク。
• DeMar, R. (1962). 「指数型の補間関数の存在」 . Trans. Amer. Math. Soc . 105 (3): 359– 371. doi : 10.1090/s0002-9947-1962-0141920-6 .
• DeMar, R. (1963). "Vanishing Central Differences" . Proc. Amer. Math. Soc . 14 : 64– 67. doi : 10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2 .
• Rubel, LA (1956)、「整関数に関するカールソンの定理の必要十分条件」、Trans. Amer. Math. Soc.、83 (2): 417–429、doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8、JSTOR 1992882、MR 0081944、PMC 528143、PMID 16578453