カラテオドリの存在定理

数学において、カラテオドリの存在定理は、比較的緩やかな条件下で常微分方程式が解を持つことを示す定理である。これはペアノ​​の存在定理の一般化である。ペアノの定理は微分方程式の右辺が連続であることを要求しているのに対し、カラテオドリの定理は（より一般的な意味で）いくつかの不連続方程式の解の存在を示す。この定理はコンスタンティン・カラテオドリにちなんで名付けられた。

微分方程式を考える

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$

初期条件付き

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0},}$

ここで、関数 ƒ は、次の形式の長方形領域で定義されます。

${\displaystyle R=\{(t,y)\in \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}\,:\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}.}$

ペアノの存在定理は、fが連続であれば、微分方程式は初期条件の近傍に少なくとも1つの解を持つと述べている。^{[ 1 ]}

しかし、不連続な右辺を持つ微分方程式も考慮することができます。例えば、次の式のように。

${\displaystyle y'(t)=H(t),\quad y(0)=0,}$

ここで、H は次のように定義されるヘヴィサイド関数を表す。

${\displaystyle H(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\leq 0;\\1,&{\text{if }}t>0.\end{cases}}}$

ランプ関数を考慮するのは理にかなっている

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}H(s)\,\mathrm {d} s={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\leq 0;\\t,&{\text{if }}t>0\end{cases}}}$

微分方程式の解として。厳密に言えば、微分方程式を満たさない。${\displaystyle t=0}$なぜなら、その点では関数が微分可能ではないからである。このことから、解の概念を拡張して、至るところで微分可能ではない解も許容する必要があることが示唆され、以下の定義が導かれる。

関数yは、微分方程式の拡張された意味での解と呼ばれます。${\displaystyle y'=f(t,y)}$初期条件付き${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$yが絶対連続である場合、y はほとんど至るところで微分方程式を満たし、y は初期条件を満たします。^{[ 2 ]} yの絶対連続性は、その導関数がほとんど至るところに存在することを意味します。^{[ 3 ]}

微分方程式を考える

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},}$

と${\displaystyle f}$長方形領域で定義される${\displaystyle R=\{(t,y)\,|\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}}$関数が${\displaystyle f}$以下の3つの条件を満たす。

• ${\displaystyle f(t,y)}$連続​​${\displaystyle y}$各固定値に対して${\displaystyle t}$、
• ${\displaystyle f(t,y)}$測定可能​${\displaystyle t}$ 各固定値に対して${\displaystyle y}$、
• ルベーグ積分可能な関数が存在する${\displaystyle m:[t_{0}-a,t_{0}+a]\to [0,\infty )}$そのため${\displaystyle |f(t,y)|\leq m(t)}$すべての人々のために${\displaystyle (t,y)\in R}$、

すると、微分方程式は初期条件の近傍で拡張された意味での解を持つ。^{[ 4 ]}

マッピング${\displaystyle f\colon R\to \mathbf {R} ^{n}}$カラテオドリの条件を満たすと言われている${\displaystyle R}$定理の条件を満たす場合。^{[ 5 ]}

マッピングが${\displaystyle f}$カラテオドリ条件を満たす${\displaystyle R}$そして、ルベーグ積分可能な関数が存在する。${\displaystyle k:[t_{0}-a,t_{0}+a]\to [0,\infty )}$、したがって

${\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|\leq k(t)|y_{1}-y_{2}|,}$

すべての人々のために${\displaystyle (t,y_{1})\in R,(t,y_{2})\in R.}$すると、唯一の解が存在する${\displaystyle y(t)=y(t,t_{0},y_{0})}$ 初期値問題へ

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

さらに、マッピングが${\displaystyle f}$空間全体で定義される${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}}$ そして、もし初期条件が${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}}$コンパクトな長方形領域が存在する${\displaystyle R_{(t_{0},y_{0})}\subset \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}}$マッピングが${\displaystyle f}$上記のすべての条件を満たします${\displaystyle R_{(t_{0},y_{0})}}$すると、ドメイン${\displaystyle E\subset \mathbf {R} ^{2+n}}$関数の定義${\displaystyle y(t,t_{0},y_{0})}$開いていて${\displaystyle y(t,t_{0},y_{0})}$連続している${\displaystyle E}$[ ^{6 ]​}

線形初期値問題を考える。

${\displaystyle y'(t)=A(t)y(t)+b(t),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

ここでは、行列値マッピングのコンポーネント${\displaystyle A\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{n\times n}}$そして不均一性${\displaystyle b\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{n}}$はすべての有限区間で積分可能であると仮定される。すると、微分方程式の右辺はカラテオドリ条件を満たし、初期値問題には一意の解が存在する。^{[ 7 ]}

• ピカール・リンデレーフの定理
• コーシー・コワレフスキーの定理

• コディントン、アール A.、レビンソン、ノーマン (1955)、『常微分方程式の理論』、ニューヨーク：マグロウヒル。
• ヘイル、ジャック K. (1980)、常微分方程式（第 2 版）、マラバー：ロバート E. クリーガー出版、ISBN 0-89874-011-8。
• ルディン、ウォルター（1987）、『実解析と複素解析』（第3 版）、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 978-0-07-054234-1MR 0924157​ 。