正準分析

統計学において、正準分析（古代ギリシャ語のκανων棒、物差し、定規に由来）は、データ分析のための回帰法のファミリーに属します。回帰分析は、相関 係数r、決定係数r ²、および標準回帰係数βによって、予測変数と基準変数の関係を定量化します。重回帰分析は、多重相関 R、多重決定係数R ²、および標準偏回帰重みβ ₁、β _{2などによって、予測変数のセットと単一の基準変数の関係を表します。正準変量分析は、}正準相関 ρ ₁、ρ ₂、...、および正準重み C と D のセットによって、 予測変数のセットと基準変数のセットの関係を捉えます。

正準分析は、特性方程式をその潜在根とベクトルについて解くことを含む一群の方法に属します。これは、座標の回転に関して不変な超空間内の形式構造を記述します。このタイプの解法では、回転が特定の方法で、対応する超空間のサブスペースで行われる場合、回転によって多くの最適化特性が保持されます。最大変量相関構造から、異なる、より単純で意味のある構造へのこの回転により、正準重み C および D の解釈可能性が高まります。この点で、正準分析は、予測子と基準正準変量間の最大 (正準) 相関を取得するように設計された、 Harold Hotelling (1936) の正準変量分析 (正準相関分析とも呼ばれる)とは異なります。正準変量分析と正準分析の違いは、それぞれが特徴的な共通点、固有値、および固有ベクトルのセットを持つ主成分分析と因子分析の違いに似ています。

正準分析は、データ セット内の変数のグループ間の関係を決定する多変量手法です。データ セットは、いくつかの共通の特性に基づいて、 XとY の2 つのグループに分割されます。正準分析の目的は、 XとYの関係、つまり、何らかの形式のX がY を表すことができるかどうかを見つけることです。これは、最も相関の高いX変数の線形結合( X ₁、X ₂など) とY変数の線形結合 ( Y ₁、Y ₂など) を見つけることによって機能します。この組み合わせは「最初の正準変量」と呼ばれ、通常はU ₁とV _{1で示され、} U ₁とV ₁のペアは「正準関数」と呼ばれます。次の正準関数U ₂とV _{2 は、} U ₁およびV ₁と相関しないように制限されます。すべてが、分散が 1 になるようにスケーリングされます。

理論から生じる制約条件や常識/直感に一致する関係を構築することもできます。これらは最大相関モデルと呼ばれます。(Tofallis、1999)

数学的には、正準分析は、 U ′ X ′ XU  =  IおよびV ′ Y ′ YV  =  I を条件としてU ′ X ′ YVを最大化します。ここで、XとYはデータ行列（インスタンスの場合は行、フィーチャの場合は列）です。

• RV係数

• Hotelling, H. (1936). 「2組の変量間の関係」Biometrika . 28 (3–4): 321–377. doi :10.1093/biomet/28.3-4.321. JSTOR  2333955.
• Krus , DJ; et al. (1976). 「正準分析における回転」。教育および心理測定。36 (3): 725–730。doi : 10.1177 /001316447603600320。
• Liang, KH; Krus, DJ; Webb, JM (1995). 「標準分析におけるK分割交差検証」.多変量行動研究. 30 (4): 539–545. doi :10.1207/s15327906mbr3004_4. PMID  26790047.
• Tofallis, C. (1999). 「複数の従属変数と制約によるモデル構築」. JR Stat. Soc. D. 48 ( 3): 1–8. arXiv : 1109.0725 . doi :10.1111/1467-9884.00195. SSRN  1353202.