ブラウン運動シート

数学において、ブラウンシートまたはマルチパラメータブラウン運動は、ブラウン運動をガウス確率場にマルチパラメータで一般化したものです。つまり、ブラウン運動の「時間」パラメータを からに一般化します。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle B_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$

新しい時間パラメータの空間の正確な次元は著者によって異なります。私たちはジョン・B・ウォルシュに従って-ブラウンシートを定義しますが、一部の著者は に対してのみ特にブラウンシートを定義し、これを-ブラウンシートと呼びます。^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle (n,d)}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle (2,d)}$

この定義はNikolai Chentsovによるものですが、 Paul Lévyによる若干異なるバージョンも存在します。

次元ガウス過程は、次の場合、 -ブラウンシートと呼ばれる。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})}$${\displaystyle (n,d)}$

• 平均はゼロ、つまりすべての${\displaystyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}$${\displaystyle t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• 共分散関数

${\displaystyle \operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}\operatorname {min} (s_{l},t_{l})&{\text{if }}i=j,\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

のために。^[2]${\displaystyle 1\leq i,j\leq d}$

定義から次のようになる

${\displaystyle B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0}$

ほぼ確実です。

• ${\displaystyle (1,1)}$-ブラウンシートは、におけるブラウン運動です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$
• ${\displaystyle (1,d)}$-ブラウンシートは、におけるブラウン運動です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$
• ${\displaystyle (2,1)}$-ブラウンシートは、インデックスセットを持つマルチパラメトリックブラウン運動です。${\displaystyle X_{t,s}}$${\displaystyle (t,s)\in [0,\infty )\times [0,\infty )}$

レヴィの定義では、上記の共分散条件を次の条件に置き換える。

${\displaystyle \operatorname {cov} (B_{s},B_{t})={\frac {(|t|+|s|-|ts|)}{2}}}$

ここで は上のユークリッド計量である。^[3]${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

を満たす 形式の連続関数の空間を考える。 この空間は、ノルムが備わっていると 可分なバナッハ空間になる。${\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \lim \limits _{|x|\to \infty }\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|=0.}$$ $${\displaystyle \|f\|_{\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|.}$$

この空間には、均一ノルムを備えた無限遠点ゼロの空間が密に含まれていることに注意してください。これは、フーリエ反転定理により、均一ノルムを のノルムで上限設定できるためです。 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

を緩和超関数の空間とします。すると、適切な可分ヒルベルト空間（およびソボレフ空間） が存在することが示せます。${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

${\displaystyle H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\subseteq {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

は に稠密な部分空間として連続的に埋め込まれ、したがって にも埋め込まれ、上に確率測度が存在し、その三つ組は 抽象的なウィーナー空間 である。 ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$$${\displaystyle (H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\omega )}$$

道はほぼ確実に ${\displaystyle \theta \in \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$${\displaystyle \omega}$

• 指数のヘルダー連続${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$
• どこでも、任意の に対してホルダー連続である。^[4]${\displaystyle \alpha >1/2}$

これは の場合のブラウン運動シートを扱います。より高次元の場合も、構成は同様です。 ${\displaystyle d=1}$${\displaystyle d}$

• ガウス自由場

• ストロック、ダニエル（2011）、確率論：分析的視点（第2版）、ケンブリッジ。
• ウォルシュ、ジョン B. (1986)。確率偏微分方程式入門。シュプリンガー・ベルリン・ハイデルベルク。ISBN 978-3-540-39781-6。
• Khoshnevisan, Davar.マルチパラメータプロセス: ランダムフィールド入門. Springer. ISBN 978-0387954592。