ブラフマグプタの公式

ユークリッド幾何学では、7 世紀のインドの数学者にちなんで名付けられたブラフマグプタの公式は、辺の長さが与えられた任意の凸環状四辺形(円に内接できる四辺形) の面積を求めるために使用されます。その一般化されたバージョンであるブレトシュナイダーの公式は、非環状四辺形に使用できます。 ヘロンの公式は、三角形に対するブラフマグプタの公式の特殊なケースと考えることができます。

ブラフマグプタの公式は、辺の長さがa、b、c、dである凸環状四辺形の面積Kを次のように 与えます。

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}$

ここで、半周長sは次のように定義される。

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

この公式は、三角形の面積に関するヘロンの公式を一般化したものです。三角形は、1 辺の長さが 0 の四辺形と見なすことができます。この観点から、d が0 に近づくにつれて、循環四辺形は循環三角形 (すべての三角形は循環的) に収束し、ブラフマグプタの公式はヘロンの公式に簡略化されます。

半周長を使用しない場合、ブラフマグプタの公式は

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+cd)}}.}$

もう一つの同等のバージョンは

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }$

ここでは右の図の表記法が使われています。凸環状四辺形の面積Kは△ ADBと△ BDCの面積の合計に等しくなります。

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}$

しかし、□ABCDは円周四辺形なので、∠ DAB = 180° − ∠ DCBです。したがって、 sin A = sin Cです。したがって、

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}$

${\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin^{2}A}$

${\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos^{2}A)=(pq+rs)^{2}-((pq+rs)\cosA)^{2}}$

（ 三角関数の恒等式を使用）。

△ ADBと△ BDCの共通辺DBを解くと、余弦定理から次の式が得られます 。

${\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.}$

cos C = −cos A を代入して整理すると（角Aと角Cは補角なので）、

${\displaystyle (pq+rs)\cos A={\frac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}).}$

これを面積の式に代入すると、

${\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}$

右辺はa ² − b ² = ( a − b )( a + b )の形をしており、次のように書くことができる。

${\displaystyle [2(pq+rs))-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]}$

これを角括弧で囲んだ項を並べ替えると、次の式が得られる。

${\displaystyle 16K^{2}=[(r+s)^{2}-(pq)^{2}][(p+q)^{2}-(rs)^{2}]}$

それは再び考慮に入れることができる

${\displaystyle 16K^{2}=(q+r+sp)(p+r+sq)(p+q+sr)(p+q+rs).}$

半周長 Sの導入= ⁠p + q + r + s/2⁠収穫量

${\displaystyle 16K^{2}=16(Sp)(Sq)(Sr)(Ss).}$

平方根を取ると、

${\displaystyle K={\sqrt {(Sp)(Sq)(Sr)(Ss)}}.}$

三角法に頼らない別の証明としては、相似三角形に対するヘロンの三角形面積公式の2つの応用が挙げられる。^[1]

非環状四辺形の場合、ブラフマグプタの公式は、四辺形の2つの反対角の大きさを考慮することで拡張できます。

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cos ^{2}\theta }}}$

ここで、θ は任意の 2 つの反対角の合計の半分です。(反対角のどのペアを選択するかは重要ではありません。他の 2 つの角度を選択した場合、その合計の半分は180° − θです。cos(180° − θ ) = −cos θなので、 cos ² (180° − θ ) = cos ² θとなります。) このより一般的な式は、ブレトシュナイダーの公式として知られています。

四辺形の向かい合う角を足すと180°になるのは、円周四辺形（そして最終的には内接角）の性質である。したがって、内接四辺形の場合、θは90°であり、そこから項

${\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,}$

ブラフマグプタの公式の基本形を示します。後者の式から、円周四辺形の面積は、与えられた辺の長さを持つ任意の四辺形の最大面積であることがわかります。

クーリッジによって証明された関連する公式は、一般的な凸四辺形の面積も与えます。それは^[2]

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}}$

ここで、pとq は四辺形の対角線の長さです。巡回四辺形の場合、プトレマイオスの定理によればpq = ac + bdとなり、クーリッジの公式はブラフマグプタの公式に簡約されます。

• 三角形の面積に関するヘロンの公式は、d = 0とした場合に得られる特殊なケースです。
• ブラフマグプタの公式の一般形と拡張形の関係は、余弦定理がピタゴラスの定理を拡張する方法に似ています。
• Maleyら^{[3]が述べているように、円上の一般的な多角形の面積については、ますます複雑な閉形式の公式が存在する。}

• Sam Vanderveldeによる幾何学的証明。
• ワイスタイン、エリック・W.「ブラフマグプタの公式」。マスワールド。

この記事には、 PlanetMathの Brahmagupta の公式の証明からの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。