ボード感度積分

ヘンドリック・ウェイド・ボーデによって発見されたボーデの感度積分は、線形パラメータ不変システムのフィードバック制御におけるいくつかの制限を定量化する式です。Lをループ伝達関数、S を感度関数とします。

図では、P は伝達関数 P(s) を持つ動的プロセスです。コントローラ C には伝達関数 C(s) があります。コントローラはプロセス出力 y が基準入力 r を追跡するようにします。外乱 d と測定ノイズ n により、出力に望ましくない偏差が生じる場合があります。ループ ゲインは L(s) = P(s)C(s) で定義されます。

次のことが当てはまります:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln |S(j\omega )|d\omega =\int _{0}^{\infty }\ln \left|{\frac {1}{1+L(j\omega )}}\right|d\omega =\pi \sum Re(p_{k})-{\frac {\pi }{2}}\lim _{s\rightarrow \infty }sL(s)}$

右半平面における Lの極（不安定な極）はどこにあるか。${\displaystyle p_{k}}$

L の極が零点より少なくとも 2 つ多く、右半平面に極がない 場合(安定している場合)、方程式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln |S(j\omega )|d\omega =0}$

この等式は、ある周波数範囲で外乱に対する感度が抑制されると、他の周波数範囲では必然的に感度が増加することを示しています。これは「ウォーターベッド効果」と呼ばれています。^[1]

• Karl Johan Åström および Richard M. Murray。フィードバック システム: 科学者およびエンジニアのための入門。第 11 章 - 周波数領域設計。プリンストン大学出版局、2008 年。http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/Frequency_Domain_Design
• Stein, G. (2003). 「不安定なものを尊重する」. IEEE Con​​trol Systems Magazine . 23 (4): 12–25. doi :10.1109/MCS.2003.1213600. ISSN  1066-033X.
• コスタ・カステリョ、ラモン。ドルミド、セバスティアン (2015)。 「ウォーターベッド効果を導入するためのインタラクティブなツール」。IFAC-PapersOnLine。48 (29): 259–264。土井：10.1016/j.ifacol.2015.11.246。ISSN  2405-8963。

• WaterbedITOOL - 線形制御システムにおけるウォーターベッド効果を分析、学習/指導するためのインタラクティブなソフトウェア ツール。
• ボード積分によって表現される達成可能な感度関数の基本的な制限に関する Gunter Stein のボード講義。
• ボーデの積分定理の使用 (1945 年頃) - NASA の出版物。

• ボード線図
• 感度（制御システム）