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田忌（中国語：田忌、ピンイン：Tián Jì）、愛称は 斉（齐）で、中国史の戦国時代初期（紀元前4世紀）の斉の軍将であった。田忌は孫薰と出会い、彼を斉の衛王に軍事戦略家として推薦した。田忌は桂陵の戦いと馬陵の戦いで斉軍を指揮し、孫薰の援助と指導を受けて 魏に対して勝利を収めた。
バイオグラフィー
田済は斉の貴族一族の出身で、後に斉の衛王によって将軍に任じられた。紀元前340年、孫斌は衛の国から亡命者として斉にやってきた。田済は孫斌と会い、その軍事戦略の達人に感銘を受け、自分の邸宅に门客として留め置いた。ある時、田済は国王主催の競馬に招かれ、孫斌は田済が勝つための戦略を提案した。田済は自分の劣った馬で国王の最も優れた馬と競走させ、自分の平均的な馬で国王の劣った馬と競走させ、自分の最も優れた馬で国王の平均的な馬と競走させ、3つのレースのうち最後の2つに勝利した。国王は田済の勝利に感銘を受け、田済は孫斌の提案に従ってレースに勝ったと国王に伝えた。田は孫薰を王に推薦し、王は孫薰を軍事戦略家および顧問に任命した。
紀元前354年、龐攝が魏軍を率いて魏は趙を攻撃した。趙は斉に救援を要請し、斉の魏王は田済と孫臏に軍を率いて趙を援軍するよう命じた。孫臏は「魏を包囲して趙を救う」という戦略を提案し、田済はその計画に従って魏への攻撃を命じ、龐攝に魏を救うために引き返すよう強制し、趙の包囲を事実上解いた。紀元前341年、魏は龐攝が魏軍を率いて漢を攻撃した。漢は斉の同盟国であったため、斉は漢を援軍として応じた。今度は孫臏が斉軍の総司令官に任命され、田済が副官となった。紀元前342年、斉軍は馬陵の戦いで大勝利を収め、魏軍は大敗し、龐攸は死亡した。
田済は斉の宰相鄒済と仲が悪く、衛王の前で田済の悪口を言われた。田済は汚名を晴らすことができず、斉から逃亡して楚に避難した。宣王が斉の王位に就いた後、田済は斉に招かれ、元の官職に復帰した。
天吉の競馬戦略
背景
田済の競馬戦略は、中国古代史の『史記』に出てくる有名な物語に由来しています。田済は、中国史の戦国時代初期の斉国の武将でした。物語は、田済と斉国の王との乗馬ゲームと、軍師の孫斌の指導の下、王よりも競争力の低い馬を率いて田済が競馬ゲームに勝利した様子を描いています。元の物語では、田済は王の戦略を知っていて、馬の順序を変えてゲームに勝ちました。しかし、元の物語がゲーム理論の戦略に発展した後のバージョンでは、プレイヤーは決定を下すときに他のプレイヤーの決定を事前に認識していないため、ゲームにランダム性と公平性が加わります。私たちのゲームの説明とソリューションは、後のバージョンに基づいています。
ゲーム
天機と斉国の王はどちらも競馬が好きで、よく賭けをします。彼らは3頭の馬を選び、良い、より良い、最高の馬に分類します。同じ等級の馬の場合、斉王の馬は天機の馬よりも優れています。レースのルールは3ラウンドあり、少なくとも2ラウンド勝った方が勝者です。両者は決定を下す前に相手の決定を事前に知ることはできないため、同時に戦略を選択していると見なすことができます。各馬は1ラウンドしか参加できません。各ラウンドの勝者は1ポイント、敗者は-1ポイントを獲得し、ゲームの結果は3つのゲームスコアの合計です。
- このゲームの正規形マトリックスを描きます。戦略ゲームのすべての重要な要素を必ず含めてください。
- 斉王が採用すべき戦略を提案してください。
解決
E、B、G を「最速の馬」、「速い馬」、「遅い馬」を表すために使用します。両プレイヤーの戦略は次のとおりです (画像を参照してください)。
原作では斉王が戦略を変更するとは書かれていないため、斉王が立てた戦略ごとに、田機は最大の利益をもたらす対応する戦略を選択できます。
- 斉王がEGBを選択した場合、天機はBEGを選択できます。
- 斉王がEBGを選択した場合、天機はBGEを選択できます。
- 斉王がGEBを選択した場合、天機はEBGを選択できます。
- 斉王がGBEを選択した場合、天機はEGBを選択できます。
- 斉王がBEGを選択した場合、天機はGBEを選択できます。
- 斉王がBGEを選択した場合、天機はGEBを選択できます。
上記の分析から、天済が斉王が行っている戦略を知っていれば、対応する唯一の勝利戦略を選択して斉王に勝つことができることがわかります。たとえば、斉王が EGB を選択し、天済がそれを知っている場合、天済は BEG を選択して勝つことができます。ただし、ゲームの場合、これらはいずれも相互に最善の応答ではないため、純粋なナッシュ均衡戦略はありません。ただし、混合ナッシュ均衡戦略は存在します。
原作の仮説では、天機は斉王が選ぶ戦略を知っていたとされています。天機がそれを知らなかったらどうなるでしょうか。次に、両者がどのように戦略を変えることができるかについて議論します。斉王にとって、彼の優勢な戦略はランダムに選択することです。その理由は、どの戦略を選択しても、天機が勝つ確率は 1/6 だからです。天機にとっても、斉王が勝つ確率は 5/6 なので、彼の優勢な戦略はランダムに選択することです。したがって、両者にとって、優勢な戦略はランダムに選択することです。