バーチの定理

数学において、バーチの定理[ ^1]はブライアン・ジョン・バーチにちなんで名付けられ、奇数次形式によるゼロの表現可能性に関する定理である。

Kを代数体、k 、 l 、 nを自然数、r ₁、 ...、  r _kを奇数の自然数、f ₁、 ...、  f _{k を}それぞれKの係数がr 1 _、 ...、  r _kのn変数同次多項式とします。すると、数ψ ( r ₁、 ...、  r _k、  l、  K )が存在し、

${\displaystyle n\geq \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)}$

すると、K ⁿのl次元ベクトル部分空間V が存在し、

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0{\text{ for all }}x\in V.}$

定理の証明は、形式 f 1 、 ...、 f k の最大次数にわたる帰納法によって行われます。_証明の 本質_は、 nが十分に大きくrが奇数である場合に、 方程式

${\displaystyle c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\ldots ,n}$

整数 x ₁、...、  x _nに解がありますが、そのすべてが 0 であるわけではありません。

rが奇数であるという制限は、正定値二次形式などの偶数次形式が原点でのみ値 0 をとる可能性があるために必要です。