ベルヌーイ四等分問題

三角形の幾何学において、ベルヌーイ四等分問題は、与えられた三角形を2本の垂直線で4つの等面積の部分に分割する方法を問うものである。この問題の解法はヤコブ・ベルヌーイによって1687年に発表された。^{[1] [2]} レオンハルト・オイラーは1779年に完全な解法を定式化した。^{[1] [3]}

オイラーが証明したように、不等辺三角形では、直線と三角形の4つの交点のうち2つが三角形の中央の辺に位置するように分割することが可能であり、その場合、その辺から三角形領域が切り離され、他の3つの領域は四辺形のままとなる。^{[1] [3]}また、一部の三角形は、3辺のうち最も短い辺に2つの交点があるように分割することも可能だが、最も長い辺に2つの交点があるということはあり得ない。二等辺三角形のうち、頂点の高さが底辺の長さの8/9である三角形だけが、ちょうど2つの直交する四等分線を持つ。2つのうちの1つは対称軸を2本の直交線の1つとして使用し、もう1つは2本の傾斜線を持ち、それぞれが底辺と1辺と交差する。^[1]${\displaystyle \pm 1}$

この三角形の分割は、リチャード・クーラントとハーバート・ロビンズの定理の特殊なケースであり、任意の平面領域は2本の垂直線で4つの等しい部分に分割できるという定理であり、ハムサンドイッチ定理に関連する結果です。^[4]三角形の四等分には低次多項式の根を含む解がありますが、^[1]クーラントとロビンズのより一般的な四等分は大幅に困難です。つまり、任意の計算可能な数に対して、 多項式時間で任意の誤差内で境界を正確に に近似できる凸形状が存在し、その構築により が計算される唯一の垂直四等分があります。^[5]${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$

2022年、アイルランドの中等学校の科学コンテスト「Young Scientist and Technology Exhibition 」で、アディティア・ジョシとアディティア・クマールによるメタヒューリスティック手法を用いてベルヌーイ四等分問題の数値解を求めるプロジェクトが1位を獲得した。^[6]