行動モデリング

システム理論と制御理論における行動論的アプローチは、1970年代後半にJCウィレムスによって提唱されました。これは、状態空間、伝達関数、畳み込み表現に基づく古典的なアプローチに存在する矛盾を解消するためでした。このアプローチは、基礎となる物理法則を尊重した、システム解析と制御のための一般的な枠組みを得るという目的にも基づいています。

行動設定における主要な対象は、システムと互換性のあるすべての信号の集合である行動です。行動アプローチの重要な特徴は、入力変数と出力変数の間に優先順位を区別しないことです。行動アプローチは、システム理論と制御を厳密な基礎の上に置いただけでなく、既存のアプローチを統合し、nDシステムの制御可能性、相互接続による制御^{[ 1 ]}、およびシステム同定^{[ 2 ]}に関する新しい結果をもたらしました。

行動的設定では、動的システムは三重項である

${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbb {T} \subseteq \mathbb {R} }$は「時間セット」、つまりシステムが進化する時間インスタンスです。
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$は「信号空間」であり、時間発展がモデル化される変数がその値をとる集合であり、
• $\displaystyle \mathcal {B}}\subseteq \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$「挙動」とは、システムの法則と互換性のある一連の信号のことである。

（${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$は、すべての信号、つまり関数の集合を表します。${\displaystyle \mathbb {T} }$の中へ${\displaystyle \mathbb {W} }$)

${\displaystyle with\in {\mathcal {B}}}$つまり${\displaystyle w}$はシステムの軌跡であり、${\displaystyle \notin {\mathcal {B}}}$システムの法則が軌道を禁止していることを意味する${\displaystyle w}$起こる。現象がモデル化される前に、すべての信号は${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$可能とみなされる一方、モデリング後には、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$可能性として残る。

特別なケース：

• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }$– 連続時間システム
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$– 離散時間システム
• $\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}}$– ほとんどの物理システム
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$有限集合– 離散事象システム

システムの特性は、動作の観点から定義されます。${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$と言われている

• 「線形」の場合${\displaystyle \mathbb {W} }$はベクトル空間であり、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、の線形部分空間である。${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$、
• 時間集合が実数または自然数で構成されている場合、「時間不変」

$\displaystyle \sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}}$すべての人々のために$\displaystyle t\in \mathbb {T} }$、

どこ$\displaystyle \sigma ^{t}}$は${\displaystyle t}$-シフト、定義は

${\displaystyle \sigma ^{t}(f)(t'):=f(t'+t)}$。

これらの定義において、線形性は重ね合わせの法則を明確に示し、時間不変性は、法的軌跡の時間シフトがそれ自体で法的軌跡であることを明確に示している。

「線形時不変微分システム」は力学系である。${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})}$その行動$\displaystyle {\mathcal {B}}}$定数係数線形常微分方程式系の解集合である。${\displaystyle R(d/dt)w=0}$、 どこ${\displaystyle R}$は実数係数を持つ多項式の行列です。${\displaystyle R}$これらはモデルのパラメータです。対応する動作を定義するには、信号を考慮するタイミングを指定する必要があります。${\displaystyle w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$解決策となる${\displaystyle R(d/dt)w=0}$説明を容易にするため、多くの場合、無限微分可能な解が考慮されます。分布解や、${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})}$、常微分方程式は分布の意味で解釈される。定義される挙動は

$\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \}.}$

このシステム表現方法は、対応する力学系の「カーネル表現」と呼ばれます。伝達関数、状態空間、畳み込みなど、同じ挙動を表す他の有用な表現方法も数多く存在します。

行動アプローチに関する入手しやすい資料については、 ^{[ 3 ]}を参照してください 。^{[ 4 ]}

行動アプローチにおける重要な問いは、観測された量 w2 とモデルが与えられた場合に、量 w1 を推論できるかどうかである。w2 とモデルが与えられた場合に w1 を推論できる場合、w2 は観測可能であると言われる。数理モデルの観点から言えば、推論される量または変数は潜在変数、観測される変数は顕在変数と呼ばれることが多い。このようなシステムは、観測可能（潜在変数）システムと呼ばれる。

• Paolo Rapisarda および Jan C. Willems、2006 年。「行動システム理論の最近の発展」、2006 年 7 月 24 ～ 28 日、MTNS 2006、京都、日本
• JC Willems著「端末とポート」 IEEE Circuits and Systems Magazine 第10巻、第4号、8～16ページ、2010年12月
• JC Willems および HL Trentelman。「二次微分形式について」。SIAM Journal on Control and Optimization 第 36 巻、1702-1749 ページ、1998 年
• JC Willems著「動的システム理論におけるパラダイムとパズル」 IEEE Transactions on Automatic Control 第36巻、259-294ページ、1991年
• JC Willems著「動力学のモデル」 Dynamics Reported第2巻、171-269ページ、1989年