バナッハのマッチ箱問題

バナッハのマッチ問題は、シュテファン・バナッハに起因する確率論の古典的な問題である。フェラー^{[1]は、この問題は、}ヒューゴ・シュタインハウスがバナッハを称えるスピーチの中でバナッハの喫煙習慣についてユーモラスに言及したことにヒントを得たが、問題を設定し、答えを提供したのはバナッハではないと述べている。

数学者が常に 2 つのマッチ箱を持ち歩いているとします。1 つは左のポケットに、もう 1 つは右のポケットです。マッチが必要になるたびに、どちらのポケットからでもマッチを取り出す可能性は同じです。ポケットに手を入れて、取り出した箱が空であることに初めて気付いたとします。それぞれのマッチ箱に元々マッチが入っていたと仮定すると、もう一方の箱にもマッチ が入っている確率はどれくらいでしょうか。${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$

一般性を失うことなく、右のポケットのマッチ箱に無制限のマッチが入っていて、左のポケットが空になる前にこの箱から取り除かれたマッチの数を とした場合を考えてみましょう。左のポケットが空であることが判明したとき、男性はそのポケットを 回選択したことになります。すると は、ベルヌーイ試行における失敗前の成功数であり、 は負の二項分布に従うため、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle (N+1)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (N+1)}$${\displaystyle p=1/2}$

${\displaystyle P[M=m]={\binom {N+m}{m}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{N+1+m}}$。

元の問題に戻ると、左のポケットが最初に空である確率は、どちらも同じ確率なので、等しいことがわかります。もう一方のポケットに残っているマッチの 数は、${\displaystyle P[M<N+1]}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle P[K=k]=P[M=Nk|M<N+1]=2P[M=Nk]={\binom {2N-k}{Nk}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}}$。

分布の期待値はおよそ です。（これはスターリングの近似値を使って示されます。^[2]）したがって、一致するボックスから始めて、2番目のボックス内の一致する期待数は です。 ${\displaystyle 2{\sqrt {N/\pi }}-1}$${\displaystyle N=40}$${\displaystyle 6}$

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