男女の戦い（ゲーム理論）

ゲーム理論では、男女の戦いは、対立の要素も含む2人のプレーヤーの調整ゲームです。このゲームは、1957年にR・ダンカン・ルースとハワード・ライファによって、彼らの古典的な著書「ゲームと決定」で紹介されました。^[1]一部の著者は、プレーヤーに性別を割り当てることを避け、代わりにプレーヤー1と2を使用することを好み、 2つのコンサートを2つのイベントとして使用して、このゲームをバッハまたはストラヴィンスキーと呼ぶ人もいます。 ^[2]ここでのゲームの説明は、ルースとライファの元のストーリーに従っています。

男性と女性が今晩会うことを望んでいるが、ボクシングとバレエの2 つのイベントのどちらかに参加する選択肢があると想像してください。男性はボクシングに行きたいと思っています。女性はバレエに行きたいと思っています。2 人とも、別々のイベントに行くよりも同じイベントに行きたいと思っています。コミュニケーションが取れない場合、どこに行けばよいでしょうか。

「男女の戦い (1)」と書かれた 報酬マトリックスは、男性が行を選択し、女性が列を選択した場合の報酬を示しています。各セルの最初の数字は男性の報酬を表し、2 番目の数字は女性の報酬を表します。

この標準的な表現では、異なる場所に行くだけでなく、間違った場所に行くことで生じる可能性のある追加の損害は考慮されていません (たとえば、男性はバレエに行き、女性はボクシングに行くと、どちらも満足しません)。これを考慮すると、ゲームは「男女の戦い (2)」で表現され、右上のボックスでは、プレーヤーはそれぞれ、少なくとも自分の好きなイベントに参加できるため、1 の報酬を得ます。

このゲームには、純粋戦略の ナッシュ均衡が2 つあります。1 つは両方のプレイヤーが賞金付きボクシング マッチに行き、もう 1 つは両方のプレイヤーがバレエ マッチに行くものです。また、プレイヤーが特定の確率を使用してランダム化する混合戦略のナッシュ均衡もあります。Battle of the Sexes (1) に記載されているペイオフでは、混合戦略均衡では、男性が賞金付きボクシング マッチに行く確率は 3/5、女性がバレエ マッチに行く確率は 3/5 なので、2 人は賞金付きボクシング マッチに確率 6/25 = (3/5)(2/5) で一緒に行き、バレエに確率 6/25 = (2/5)(3/5) で一緒に行くことになります。純粋戦略は混合戦略の退化したケースであるため、2 つの純粋戦略ナッシュ均衡も混合戦略ナッシュ均衡の集合の一部です。その結果、Battle of the Sexes には合計 3 つの混合戦略ナッシュ均衡が存在します。

これはゲーム理論にとって興味深い事例です。なぜなら、それぞれのナッシュ均衡は何らかの欠陥があるからです。2 つの純粋戦略ナッシュ均衡は不公平です。一方のプレイヤーが常にもう一方のプレイヤーよりも有利です。混合戦略ナッシュ均衡は非効率的です。プレイヤーは 13/25 の確率で誤った調整を行い、各プレイヤーの期待収益は 6/5 になります (各プレイヤーのあまり好ましくない純粋戦略均衡からの収益 2 より少ない)。特定の均衡が実現される結果となる期待がどのように形成されるかは不明です。

困難を解決する 1 つの方法として、相関均衡の使用が挙げられます。最も単純な形では、ゲームのプレイヤーが一般的に見られるランダム化装置にアクセスできる場合、装置の結果に基づいてゲームでの戦略を相関させることに決める場合があります。たとえば、プレイヤーが戦略を選択する前にコインを投げることができる場合、表が出たらバレエを選び、裏が出たらボクシングを選ぶなど、コイン投げの結果に基づいて戦略を相関させることに同意するかもしれません。コイン投げの結果が明らかになると、どちらのプレイヤーも、相手が行動を変えないと信じれば、提案した行動を変える動機がないことに注意してください。その結果、常に完璧な調整が達成され、コイン投げの前には、プレイヤーの期待される利益は正確に等しくなります。ただし、相関装置があっても、プレイヤーがそれを無視するナッシュ均衡は残ります。相関均衡には、相関装置の存在と、両方のプレイヤーが決定を下すためにそれを使用するという期待の両方が必要です。

• Fudenberg, D. およびTirole, J. (1991)ゲーム理論、MIT 出版。(第 1 章、セクション 2.4 を参照)
• Kelsey, D.; le Roux, S. (2015). 「調整ゲームにおける曖昧さの影響に関する実験的研究」.理論と意思決定. 79 : 667–688. doi :10.1007/s11238-015-9483-2. hdl : 10871/16743 .

• ゲーム理論.net
• Elmer G. Wiens によるナッシュ関数による協調的解決