オースティンの移動ナイフ手順

オースティン移動ナイフ法は、ケーキを公平に分割するための手順です。n人のパートナーそれぞれに、そのパートナーが正確にと評価するケーキのピースを割り当てます。${\displaystyle 1/n}$これは、各パートナーに少なくとも${\displaystyle 1/n}$ケーキの一部だが、パートナーの中にはもっと多く分け与える人もいるかもしれない。

いつ${\displaystyle n=2}$オースティンの手順によって生成される分割は、正確な分割であり、かつ羨望も生じません。さらに、ケーキを任意の数kに分割することができ、その分割のそれぞれの割合は、両方のパートナーが正確に 1/ kと評価します。したがって、ケーキをパートナー間で任意の割合で分割することが可能です (例えば、アリスに 1/3、ジョージに 2/3 を与えるなど)。

いつ${\displaystyle n>2}$分割は正確でも羨望のないものでもなく、各パートナーは自分のピースを${\displaystyle 1/n}$しかし、他の作品については異なる評価をするかもしれない。

オースティンの手順で用いられる主な数学的ツールは、中間値の定理（IVT）である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]： 66}

基本的な手順には以下が含まれます${\displaystyle n=2}$ケーキをそれぞれがちょうど半分ずつもらえるように分けたいパートナーたち。

オースティンが指摘したように、2人のパートナーは、2人とも同じように価値を置くケーキを1切れ見つけることができる。${\displaystyle 1/k}$任意の整数に対して${\displaystyle k\geq 2}$[ ^{2 ]}上記の手順を^呼び出す${\displaystyle \mathrm {カット} _{2}(1/k)}$:

• アリスは${\displaystyle k-1}$ケーキに平行なマークを付けて${\displaystyle k}$決定されたピースは正確に${\displaystyle 1/k}$。
• ジョージも大切にしている作品があるとすれば${\displaystyle 1/k}$これで終わりです。
• そうでなければ、ジョージが価値を低く見積もっている作品があるはずだ。${\displaystyle 1/k}$そしてジョージがそれ以上に大切にしている隣接する作品${\displaystyle 1/k}$。
• アリスはこれらのピースの1つの2つのマークに2本のナイフを置き、それらを平行に動かし、それらの間の値を正確に維持します。${\displaystyle 1/k}$ナイフ同士の値が一致するまで。IVTによれば、ジョージがナイフ間の値が正確に一致することに同意する時点が存在するはずだ。${\displaystyle 1/k}$。

再帰的に適用することで${\displaystyle \mathrm {カット} _{2}}$2人のパートナーはケーキ全体を分けて${\displaystyle k}$ピース、それぞれ正確に${\displaystyle 1/k}$両者について：^{[ 2 ]}

• 使用${\displaystyle \mathrm {カット} _{2}(1/k)}$ちょうどその価値のピースを切り取る${\displaystyle 1/k}$両方のパートナーにとって。
• 残りのケーキはちょうど${\displaystyle (k-1)/k}$両方のパートナーのために; 使用する${\displaystyle \mathrm {カット} _{2}(1/(k-1))}$正確に別のピースを切り取る${\displaystyle 1/k}$両方のパートナーにとって。
• までこのように続けてください${\displaystyle k}$ピース。

2人のパートナーは、やや複雑な手順を踏むことで、権利の比率を任意の合理的な比率で正確に分割することができる。 ^{[ 3 ]： 71}

組み合わせることで${\displaystyle \mathrm {カット} _{2}}$Finkプロトコルを使用すると、ケーキを分割して${\displaystyle n}$パートナーは、各パートナーが正確に1つの価値のピースを受け取る${\displaystyle 1/n}$彼の場合：^{[ 1 ] [ 4 ]}

• パートナー1と2は${\displaystyle \mathrm {カット} _{2}(1/2)}$彼ら一人ひとりに、ちょうど1/2の価値のあるものを与える。
• パートナー3は${\displaystyle \mathrm {カット} _{2}(1/3)}$パートナー1と彼の持ち分のちょうど3分の1を手に入れ、${\displaystyle \mathrm {カット} _{2}(1/3)}$パートナー2は、自分の取り分のちょうど1/3を受け取ります。最初のピースはパートナー1にとってちょうど1/6の価値があり、パートナー1はちょうど1/3を受け取ります。パートナー2についても同様です。パートナー3に関しては、各ピースは1/6より多くても少なくても構いませんが、2つのピースの合計はケーキ全体のちょうど1/3でなければなりません。

注意してください。${\displaystyle n>2}$生成された分割は正確ではありません。なぜなら、ピースの価値は${\displaystyle 1/n}$所有者のみに分配され、他のパートナーには必ずしも分配されない。2015年現在、正確な分配手順は知られていない。${\displaystyle n>2}$パートナー関係にあるが、ほぼ正確な分割手順しか知られていない。

• オースティン法は、ブラムス・テイラー・ズウィッカー法で用いられている。
• 公平分割および完全分割に関するその他の手続きと結果。

• フィッシャー、ダニエル。「任意の比率で2人にケーキを分配する合意」。Math.SE 。 2015年6月23日取得。