結合法則の式

させて${\displaystyle E}$を少なくとも片側が開いている実数区間（有限または無限）とし、 ${\displaystyle F\colon E^{2}\to E}$各引数に関して連続かつ厳密に増加します。古典的な定理（しばしばアツェルに帰せられる）によれば、${\displaystyle F}$が結合法則を満たすのは、連続かつ厳密に単調な関数が存在する場合に限る。${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$そのため

${\displaystyle F(x,y)=f^{-1}{\bigl (}f(x)+f(y){\bigr )}\quad {\text{すべての}}x,y\in Eについて}$^{[ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]}

したがって、単調な変数変換を除いて、実数区間上の結合法則方程式の連続的に厳密に増加する解はすべて、（おそらく異なる）実数区間上の通常の加法と同型である。${\displaystyle f}$非ゼロ定数による乗算を除いて一意である。

簡単な例としては、以下のようなものがあります。

• ${\displaystyle F(x,y)=x+y}$加算に関して安定な任意の区間（ここでは）${\displaystyle f(x)=x}$)
• ${\displaystyle F(x,y)=xy}$正の実数について（ここでは${\displaystyle f(x)=\log x}$）、 そして
• より一般的には、区間の厳密に単調な同相写像との共役によって加算から得られる演算。

このような半群は、アツェリアン半群または加法的に表現可能半群と呼ばれることがある。^{[ 6 ]}

単に非減少である（厳密に増加ではない）連続結合演算の分類は、より複雑である。関数については、${\displaystyle M\colon [a,b]^{2}\to [a,b]}$連続で非減少かつ結合的であり、恒等式の存在と非自明な冪等式の不在を表す自然な境界条件を満たす場合、いわゆる加法生成子に関して表現定理が得られる。^{[ 7 ] [ 6 ]}

例えば、${\displaystyle M}$連続的で、非減少で、結合的である${\displaystyle [a,b]}$そして、${\displaystyle b}$アイデンティティとして機能する${\displaystyle ]a,b[}$冪等元を含まない。すると、連続かつ厳密に減少する関数が存在する。${\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,+\infty ]}$と${\displaystyle f(b)=0}$そのため

${\displaystyle M(x,y)=f^{-1}\!{\bigl (}\min(f(x)+f(y),f(a)){\bigr )}}$

すべての人々のために${\displaystyle x,y\in [a,b]}$（ジェネレータの選択に関する自然な等価性まで ）^{[ 6 ]}${\displaystyle f(a)}$が有限または無限である場合、区間を適切に再スケーリングすると、積tノルムおよびŁukasiewicz tノルムに関連するよく知られた演算のファミリーが得られます。

双対ステートメント、${\displaystyle a}$アイデンティティであり、${\displaystyle b}$ゼロの役割を果たして、標準的なt-コノルムと密接に関連する選言的結合演算を記述します。^{[ 6 ]}

より一般的には、コンパクト区間上の連続非減少結合演算は、そのような基本ブロックの順序和と点ごとの最小値および最大値演算と合わせて構築することができる。^{[ 5 ] [ 6 ]}

ファジィ論理や集約関数理論では、二項演算がしばしば研究される。${\displaystyle M\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$結合的で単調であり、特定の境界条件を満たすもの、例えば、

${\displaystyle M(0,x)=0,\quad M(1,x)=x,}$

またはそれらの双対。この種の連続結合演算は、それぞれ一般化された論理積と論理和をモデル化するために使用される連続tノルムとtコノルムに正確に一致する。^{[ 8 ] [ 6 ]}

結合法則は、単調性および連続性の仮定とともに、これらのクラスの集約演算子を特徴付け、それらの生成元および順序和を研究する上で中心的な役割を果たします。^{[ 6 ] [ 9 ]}

ベイズ確率論とコックスの定理の基礎では、命題に対する実数値の妥当性尺度を考慮し、次の形式の妥当性を組み合わせた二項演算を模索する。${\displaystyle F(x,y)}$これは論理積に対応します。この演算が結合法則（結合法則と同様）、単調性、および基本的な論理制約との互換性を持つことを要求すると、次の結合法則の式が得られます。${\displaystyle F}$適切な正則性の仮定の下では、単調な再グレーディングが存在する。${\displaystyle w}$そのため

${\displaystyle w(F(x,y))=w(x)\,w(y),}$

そのため、再等級付けされた尺度では、演算は通常の乗算​​となり、確率論の通常の積の法則が回復される。^{[ 10 ] [ 1 ] [ 4 ]}

いつでも${\displaystyle F\colon X\times X\to X}$結合法則を満たすペア${\displaystyle (X,F)}$は半群である。逆に、位相半群や順序半群に関する多くの構造的結果は、連続性、順序保存性、その他の制約を満たす結合演算に関する関数方程式の結果として定式化できる。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

例えば、実数区間上の連続的な消去可能な半群は、同型を除いて、上記で説明した厳密に増加する場合のように、単調な変数変換による区間上の加算によって表現できることが多い。